Методика обчислень за правилом складних відсотків

 

Коли у фінансовому аналізі враховують фактор часу (ефект дисконтування), завжди є два варіанти обчислень, які при­зводять до різних кінцевих результатів — це правило простих та правило складних процентів.

На користь вибору кожного з цих варіантів існують об'єктивні передумови, тому жодним з них не можна знехтувати та не роз­глядати взагалі. Правило простих процентів є простішим з погляду математичних розрахунків, а правило складних процентів — реалістичнішим в аспекті опису прикладних економічних задач.

Розглянувши в попередній темі правило простих процентів, перейдемо до опису правила складних процентів. Причому, ви­кладаючи цей матеріал, необхідно звертатися до поперед­нього матеріалу, оскільки для кращого висвітлення відмінностей обидві методики зручно розглядати у порівнянні.

Практика сучасних економічних відносин свідчить, що серед існуючих методик нарахування коштів саме обчислення за пра­вилом складних процентів є основою переважної більшості фі­нансових операцій.

Правило складних процентів (compound interest) зазвичай засто­совують у середньо- та довгострокових фінансових угодах (строк більший від одного року), та у випадках, коли процен­ти не виплачують відразу після їх нарахування, а додають до ос­новної суми боргу. Іншими словами, цей метод передбачає реінвестування коштів та капіталізацію процентів.

Сутність методу нарахування за складними процентами поля­гає в тому, що наприкінці кожного періоду до основної суми грошей додають нараховані проценти й отримана таким чином сума грошей є вихідною для нарахування процентів у наступно­му періоді.

Отже, у разі нарощування за складними процентами база для нарахування в кожному наступному періоді змінюється, оскільки кожна наступна сума зростає ще й на частку від попередньої.

Тож, згідно з уведеними раніше позначеннями, кінцева сума, яку одержить інвестор наприкінці періоду нарахування за прави­лом складних процентів, дорівнюватиме:

— після першого періоду нарощування => t =1: FV ₁ =PV*(1+r);

—після другого => t =2: FV ₂ = PV *(1+ r)+ PV *(1+ r) r = PV *(1+ r)² ;

— після п періодів => t = п: FV _n = PV *(1+ r)^п.

Отже, в загальному вигляді, формулу нарощування за склад­ними процентами (декурсивний метод нарахування) записують так:

                                                                          (3.1)

 

Величину (1+ r) ⁿ називають множником нарощування склад­них процентів.

У формулі (3.1) для коректних обчислень за методом складних процентів величини r та п мають бути взаємоузгоджені (зведені до одних величин часу - років, місяців, днів тощо).

Розглянемо методику нарощування коштів за правилом склад­них процентів на прикладі.

Приклад 3.1.

Знайти майбутню вартість коштів за правилом складних процентів. Маємо: теперішня вартість Р V = 1000 грн., ставка дохідності r — 10 %.

Тоді за правилом складних процентів (формула (3.1)) майбут­ня величина відомої теперішньої суми дорівнюватиме:

— FV(1000) = 1100 грн., якщо п = 1;

— FV(1000) = 1210 грн., якщо п = 2;

— FV (1000) =1331 грн., якщо п = 3 і т. д.

Неважко зрозуміти, що послідовність нарощених за правилом складних процентів сум становлять геометричну прогресію.

Порівнюючи результати обчислень за простими процентами (приклад 2.1) та за складними процентами (приклад 3.1), ба­чимо, що за однакових висхідних умов, ідентичний результат до­сягається лише після одиничного періоду, а потім нарощування за складними процентами дає більшу кінцеву величину. Причо­му, чим більша кількість періодів нарощування, тим більша різ­ниця у результатах розрахунків за цими двома методиками.

У цьому прикладі для отримання ідентичних результатів за правилом простих процентів доведеться кожен раз збільшувати базу для нарощування.

Узагальнюючи результати прикладів 2.1 та 3.1, можна зробити важливий висновок:

Нарахування складних процентів рівнозначне нарахуванню прос­тих процентів з реінвестуванням коштів наприкінці кожного пе­ріоду.

Наприклад, у вкладника банку є депозитний та поточний ра­хунки, а умовами депозитного договору передбачено виплату простих відсотків за вкладом щомісяця, шляхом перерахування їх на поточний рахунок. Якщо вкладник не витрачатиме ці кошти на поточному рахунку, а поповнюватиме ними депозит, то на­прикінці року він отримає таку суму, ніби нарахування відбува­лося за складними процентами.

Коли відома кінцева (майбутня) вартість, за правилом склад­них процентів можна обчислити приведену (теперішню) вартість, виконавши операцію дисконтування за формулою:

                                                                   (3.2)

 

Величину (1+ r) ^{- n} називають множником дисконтування склад­них процентів.

У практиці фінансових обчислень за відомої початкової суми часто виникає питання оцінювання не кінцевої суми, а абсолют­ної різниці між кінцевою та початковою сумами — нарощеної величини. Наприклад, у задачах оцінювання ефективності інвес­тицій, цю нарощену величину можна трактувати як абсолютний прибуток від інвестування. За використання правила складних процентів цю нарощену величину називають розміром складного проценту ІС та розраховують таким чином:

 

 

Остаточно маємо:

 

                                                                             (3.3)

 

Зазначимо, що за однакових вихідних умов, коли кількість пе­ріодів п> 1, величина складного проценту ІС перевищуватиме величину простого проценту IS.

Приклад 3.2.

Нехай теперішня вартість PV = 1000 грн., кількість періодів нарощування п = 3, ставка дохідності r = 10 %. Розрахуємо роз­міри простого та складного процентів.

Величина простого проценту за формулою (2.2) дорівнюватиме:

 

Відповідно, величина складного проценту за формулою (3.3) дорівнюватиме:

 

Отже, розмір складного проценту перевищує розмір простого проценту на 31 грн.

 

При збільшенні кількості періодів різ­ниця у нарощених сумах, отриманих за складними та простими процентами, буде зростати.

Розмір складного проценту перевищує розмір простого про­центу за рахунок того, що за методикою складних процентів на­прикінці кожного періоду відбувається реінвестування коштів. До того ж величина, на яку розмір складного проценту переви­щує розмір простого проценту, отримана шляхом нарахування процентів на проценти. Таке нарахування називають капіталіза­цією процентів.

Для того, щоб визначити розмір капіталізації процентів ІС_Р за­стосуємо вирази (2.2) та (3.3). Тоді, згідно введених раніше по­значень:

 

Зазначимо, що коли п= 1, то ІС_Р = 0 та ІС = IS. Отже, капіталі­зація процентів можлива лише, коли кількість періодів нарощування більша за один.

Зауважимо, що формули складних процентів (рівняння (3.1) або (3.2) пов'язують функціональною залежністю 4 параметри (майбутня та теперішня вартість, період часу та ставка дохіднос­ті). Отже, знаючи будь-які три з них, завжди можна знайти четвер­гу, невідому величину.

Розглядаючи правило простих процентів, ми оцінювали норму дохідності фінансової операції за відомих початкової та кінцевої вар­тості, а також строку угоди (рівняння (2.25)). Тепер аналогічно оціни­мо норму дохідності за використання правила складних процентів.

Розв'язання у загальному вигляді рівняння (3.1) відносно ста­вки дохідності r дає такий результат:

                                                                     (3.4)

 

Розглянувши операції нарощення та дисконтування коштів, розглянемо також як здійснюють операцію утримання коштів за правилом складних процентів.

Операцію утримання складних процентів застосовують, зок­рема, у фінансових обчисленнях щодо деяких видів боргових зо­бов'язань зі строком погашення, більшим за один рік.

Теперішню вартість, яку із застосуванням складної ставки дисконтування r обчислюють за формулою (3.2), використовуючи складну облікову ставку d можна знайти так:

            

                                                                                               (3.5)

 

Зазначимо, що вираз (3.5) має економічний сенс лише коли складна облікова ставка d є меншою за 100 %.

Величину (1- d) ⁿ називають множником утримання складних процентів.

Розв'язавши рівняння (3.5) відносно складної облікової ставки d, отримаємо вираз для оцінювання дохідності операції утриман­ня складних процентів:

                                                                                         (3.6)

 

Зазначимо, що серед усіх розглянутих ставок дохідності, саме обчислення складної облікової ставки дасть найнижчий результат.

З виразів (3.2) та (3.6) можна знайти наступне співвідношення між складною ставкою дисконтування r та складною обліковою ставкою d:

 

                                                                            (3.7)

 

Виходячи з цього, застосування складної облі­кової ставки при строках, що не дорівнюють одиничному періоду часу, є не зовсім коректним.

Надалі, розглядаючи правило складних процентів, працюва­тимемо насамперед зі загальноприйнятою ставкою дохідності r.