Узагальнена класифікація фінансових рент

 

Ознака класифікації	Вид ренти
Періодичність платежів	Річні (платіж один раз за рік); р — термінові (р платежів за рік)
Частота платежів	Дискретні; Неперервні
Величина членів ренти	Постійні (з однаковими членами);  змінні (з різними членами)
Кількість членів	Обмежені (зі скінченою кількістю членів); необмежені (вічні)
Обов'язковість платежу	Умовні (кількість членів наперед невідоме, оплачу­ються згідно з умовою); безумовні, правильні (обов'язково оплачуються)
Момент платежу	Звичайні — постнумерандо (платіж в кінці періоду); авансові — пренумерандо (платіж на початку періоду)

¹ У деяких економічних виданнях терміни «рента» та «ануїтет» використовують як синоніми. Проте між цими дуже близькими за змістом поняттями існує одна відмінність, оскільки ануїтет — це завжди річний платіж.

 

Зрозуміло, що представлена в табл. 5.1 класифікація не претен­дує на абсолютну вичерпність, оскільки в ній наведені лише най­більш розповсюджені у реальних фінансових розрахунках різно­види рент.

Використовуючи ці ознаки класифікації, можна виконати якіс­ний аналіз та дати характеристику певним потокам платежів. Наприклад, виплата дивідендів за простими акціями — це умов­на, вічна рента постнумерандо.

Основними вартісними оцінками будь-якої скінченої фінансо­вої ренти є дві її характеристики:

• нарощена (кінцева) величина ренти S — це сума всіх членів ренти з нарахованими на них процентами на кінець її терміну існування (на дату останнього платежу);

• теперішня (початкова) величина ренти А — це сума всіх чле­нів ренти, дисконтованих на початок її терміну існування. Іноді цю величину називають капіталізованою ціною ренти.

Для фінансової ренти, як і для будь-якого іншого потоку пла­тежів, можна знайти її вартісну оцінку на довільний момент часу з інтервалу існування цієї ренти. Однак, розповсюдження отримали лише дві оцінки — на початковий та на кінцевий момент часу.

Зрозуміло, що вартісні характеристики ренти залежать, зокре­ма, від моменту платежу (на початку, всередині, наприкінці пері­оду тощо). Зазначимо, що на практиці здебільшого застосовують ренти постнумерандо.

Нижче будуть розглянуті основні види фінансових рент.

Річна рента постнумерандо (звичайний ануїтет)

Річна рента постнумерандо або, іншими словами, зви­чайний ануїтет передбачає, що всі додатні, періодичні платежі цього грошового потоку здійснюють наприкінці року. Досить ча­сто при цьому, ще й розміри періодичних платежів є однаковими (рівними), тобто рента є постійною.

Фінансові розрахунки за постійними платежами постнумеран­до застосовують у більшості лізингових угод, схемах споживчого кредитування, купонних виплатах за облігаціями тощо. Можна стверджувати, що саме такий вид фінансових рент є найбільш розповсюдженим у практиці фінансово-кредитних операцій.

Постійну скінчену річну ренту постнумерандо з параметрами { R, n, r } з погляду розташування платежів у часі графічно відоб­ражено на рис. 5.1.

 

Рис. 5.1. Постійна скінчена річна рента постнумерандо

 

На рис. 5.1 показано, що розмір періодичних платежів R = со nst, платіж у початковий (нульовий) момент часу не здійснюють, платежі надходять наприкінці періодів з 1-го по останній (n -ний).

Для того, щоб знайти нарощену величину такої ренти, необхідно всі періодичні платежі привести (наростити) до останнього періоду часу з урахуванням ставки r. Ілюструє операцію нарощу­вання постійної скінченої річної ренти постнумерандо рис. 5.2.

Рис. 5.2. Нарощування звичайного ануїтету у часі

Відповідно до наведеної на рис. 5.2 схеми, нарощена сума п членів звичайного ануїтету становитиме:

 

                                                          (5.3)

 

Числова послідовність є геометричною прогресією з першим членом, що дорівнює R та темпом росту (1+ r). Скориставшись формулою суми геометричної прогресії вираз (5.3) можна спрос­тити так:

 

                                                                                  (5.4)

 

Величину ((1+ r) ⁿ -1)/ r, яка входить до складу рівняння (5.4), називають множником нарощування звичайного ануїтету (Future Value Interest Factor Annuities, FVIFA).

Розглянемо основні засади оцінювання початкової (дис­контованої) вартості звичайного ануїтету. Ілюструє операцію ди­сконтування постійної скінченої річної ренти постнумерандо рис. 5.3.

                  

 

Рис. 5.3. Дисконтування звичайного ануїтету у часі

Відповідно до наведеної на рис. 5.3 схеми, приведена (дискон­тована) сума п членів звичайного ануїтету становитиме:

 

                                                      (5.5)

 

Отримане рівняння взаємозв'язку (5.5) між теперіш­ньою та кінцевою величинами звичайного ануїтету повністю від­повідає загальній властивості грошових потоків (5.2).

Підставивши вираз (5.4) у рівняння (5.5), отримаємо:

 

                                                            (5.6)

 

Величину (1-(1+ r)^{- n} / r,  яка входить до складу рівняння (5.6), називають множником дисконтування звичайного ануїте­ту (Present Value Interest Annuities, PVIFA).

Для підвищення ефективності розрахунків в умовах відсутно­сті засобів обчислювальної техніки, для множників нарощування та дисконтування звичайних ануїтетів існують спеціальні довід­кові фінансові таблиці.

Таким чином, користуючись рівняннями (5.4) і (5.6'), знаючи три параметри: розмір щорічного платежу R, кількість років п та ставку дохідності r, завжди можна знайти теперішню та майбут­ню величини звичайного ануїтету.

При плануванні схем погашення боргу, часто розв'язують обер­нену задачу — за відомої теперішньої або майбутньої величини боргу та необхідної ставки дохідності, оцінюють розмір щорічно­го платежу за кредитом, залежно від строку кредиту.

Розв'яжемо рівняння (5.4) і (5.6) відносно величини щорічно­го платежу R..

За відомої кінцевої величини звичайного ануїтету маємо:

 

                                                                                       (5.7)

 

Відповідно, за відомої початкової величини звичайного ануї­тету отримаємо:

 

                                                                 (5.8)

 

Отримані вирази (5.7) та (5.8) дозволяють оцінити необхід­ну величину щорічного платежу за кредитною угодою та дозво­ляють її коригувати залежно від строку, суми боргу, ставки по кредиту тощо.

Навівши основні рівняння щодо вартісних характеристик звичайного ануїтету, для кращого розуміння сутності ануїтет них платежів, розглянемо як відбувається нарощення ануїтету по роках.

Приклад.

Маємо звичайний ануїтет з такими параметрами: строк ренти n=5 років, річний платіж R=1000 грн., ставка дисконтування r=10%. Знайти нарощені суми наприкінці кожного року.

Рішення.

Насправді механізм нарахування ренти простий. До суми, що була на рахунку на початок періоду, додається річний платіж. У результаті отримуємо суму на кінець періоду. Потім на останню нараховуємо складний процент. Отримана величина – це сума на початок наступного періоду. Далі цикл повторюється до закінчення строку ренти.

Розрахунки наведено нижче в таблиці.

Періоди (роки)	1	2	3	4	5
Сума на початок періоду, грн.	0	1100	2310	3641	5105,1
Річні платежі, грн.	1000	1000	1000	1000	1000
Сума на кінець періоду, грн.	1000	2100	3310	4641	6105,1

 

Отже, нарощена сума становить 6105,1 грн., а теперішня величина ренти за формулою (5.5) дорівнює 6105,1/1,1⁵=3791 грн.

Нескінчена рента постнумерандо (перпетуїтет)

Розглядаючи ренти постнумерандо, необхідно окремо зупини­тися на так званій „ вічній” (нескінченій) ренті.

Нескінчена рента (перпетуїтет) — це рента, послідовність платежів за якою нескінчена, тобто вважається, що така рента бу­де виплачуватися необмежено довго.

Аналіз часткового випадку рівнянь (5.4) та (5.6) за умов, що п →∞, дає змогу зробити висновки стосовно вартісних характе­ристик перпетуїтету.

Нарощена величина S нескінченої ренти теж прямує до не­скінченості, а теперішню величину нескінченої ренти знаходять з рівняння (5.9):

 

                                                                                                (5.9)

 

З виразу (5.9) видно, що теперішня вартість нескінченої ренти залежить лише від розміру щорічного платежу та річної ставки дохідності. Причому припускається, що ринкова дохідність r з плином часу залишається незмінною.

Приклад 5.1.

Компанія орендує приміщення за 60 тис. грн. на рік. Чому дорівнює викупна ціна оренди, якщо річна ставка ринкової дохід­ності складає 15 %?

Рішення.

Викупна ціна — це теперішня величина всіх майбутніх оренд­них платежів.

За формулою (5.9) вона дорівнює:

А = 60 / 0,15 = 400 тис. грн.

Неважко побачити, що при збільшенні річної ставки до 20 % викупна ціна становитиме лише 300 тис. грн., тобто номінальну (недисконтовану) суму п'ятирічних орендних платежів.

Зазначимо, що згідно виразу (5.9), при збільшенні ринкової норми дохідності теперішня вартість нескінченої ренти буде зменшуватися, тобто строк окупності капіталовкладень буде ко­ротший.