Предел последовательности. Геометрический смысл предела.

 

Пусть каждому по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число x_n. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x₁,x₂,…,x_n или {x_n}.

Число x_n –элемент последовательности.

 

Пример 17.2.

1) ;

2) .

 

Если x_n=const, то последовательность называется постоянной.

 

Последовательность {x_n} ограничена, если .

 

Определение 17.3.

Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство .

 

Обозначение: или .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его – расходящейся.

 

Пример 17.3.

Определить предел последовательности .

(Ответ: .)

Геометрический смысл предела числовой последовательности

Число a – предел последовательности x_n, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .

 

Пример 17.4.

Показать, что последовательность не имеет предела. Действительно, пусть а – предел x_n..

Выберем интервал с длиной . Расстояние между -1 и 1 равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.

 

 

Основные свойства сходящихся последовательностей

 

Теорема 17.2.

Если последовательность {x_n} имеет предел, то он единственный.

 

Доказательство

Пусть {x_n} имеет два предела a и b. Накроем их интервалами(c,d) и (e,f) (т.е. ) Т.к. a=lim x_n , то все элементы {x_n} начиная с некоторого номера лежат в (c,d) и значит это противоречит тому, что b – предел.

 

Теорема 17.3.

Если последовательность {x_n} сходится, то она ограничена.

Доказательство

Пусть . Зададим . Тогда : .

Известно, что ,

 

поэтому <1

.

Пусть ,

тогда очевидно, что .

 

Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел

 

Замечание 1.

Пусть , тогда - бесконечно малая последовательность.

Действительно, .

Это значит, что любой элемент последовательности {x_n}, имеющей пределом число , можно представить в виде:

(17.1).

 

Замечание 2.

Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 3.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 4.

Так как , то .

 

Теорема 17.4.

Если существуют конечные пределы последовательностей и , то справедливы равенства:

1) (17.2)

2) (17.3)

3) если (17.4).

 

Доказательство

Идея доказательства построена на неравенстве:

.

Пусть , . Тогда согласно равенству (17.1):

1) - бесконечно малая последовательность (согласно 17.1);

2) (бесконечно малая последовательность);

3) (бесконечно малая последовательность).