для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Для определённого

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

,

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где — функция, имеющая непрерывную производную.Тогда

 

и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

 

Интегрирование дробно-рациональных функций

Пусть и некоторые полиномы степени m и n

Функция вида

называется дробно-рациональной функцией, или коротко- рациональной дробью.

При m<n эта рациональная дробь называется правильной.

Интегралы от дрбно –рациональных функций всегда вычисляются. Однако в данном курсе мы не будем рассматривать полную теорию интегрирования таких функций, а рассмотрим только два наиболее важных частных случая

Случай 1 Подинтегральная функция имеет вид

,

где все различны и m<n, т.е. рациональная дробь является правильной.

Основной результат который мы приведём без доказательства, утверждает, что f(x) в этом случае можно представить в виде:

Слагаемые вида называются простейшими, а само приведённое разложение называется “разложением рациональной дроби на простейшие”.

Рассмотрим вопрос о нахождении коэффициентов . Рассмотрим, например, вычисления . Для этого

а) Умножим обе части разложения на простейшие на

б) И положим x=b1. Так как при этом (x-b1)=0, то получи

(символ означает, что в написанном слева выражении надо положить )

Аналогично можно найти и все остальные . Этот метод получил название “метода вычёркивания “. Он формулируется так: чтобы вычислить коэффициент нужно

а) в выражении для f(x) вычеркнуть сомножитель

б) в оставшемся выражении положить .

Если все найдены, то дальнейшее очень просто

и получившиеся интегралы 1 типа легко вычисляются

Случай 2.

Подинтегральная функция имеет вид

т.е. сомножитель вида даёт группу слагаемых вида

Если теперь найти все коэффициенты Bi j, то метод разложения приведёт к интегралам 1 и 2 типов которые легко вычисляются.

Для нахождения коэффициентов Bi j можно использовать так называемый метод неопределённых коэффициентов.

Его алгоритм следующий.

а) пишут разложение рациональной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами;

б) написанное разложение на простейшие приводят к общему знаменателю и вновь сворачивают в правильную рациональную дробь;

в) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях y x в числителях исходной дроби и получившейся дроби;

г) решают полученную систему линейных уравнений и определяют Bi j.

Продемонстрируем этот метод на примере.

Комбинированный метод

Метод неопределённых коэффициентов достаточно трудоёмок.Однако заметим что коэффициенты при старших степенях , т.е. при можно определять методом вычёркивания.

Поэтому реально комбинируют оба этих метода:коэффициенты при определяют метдом вычёркивания, а оставшиеся – методом неопределённых коэффициентов.

Случай 3. Подынтегральная функция имеет вид

,

где - неразложимые трёхчлены. Разложение этой функции на простейшие имеет вид.

т.е. от сомножителя идёт слагаемое вида . Оно при интегрировании даст интеграл третьего типа.

Коэффициенты при старших степенях , т.е. при находятся методом вычёркивания, остальные – методом неопределённых коэффициентов.

В заключение отметим, что есть рациональная дробь неправильная, т. е. Степень полинома, стоящего в числителе, выше степени полинома, стоящего в знаменателе, то следует поделить эти полиномы друг на друга, выделить целую часть и затем интегрировать отдельно полученную целую часть и оставшуюся правильную рациональную дробь.

 

73Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:   2.Интегралы вида , где m или n – нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала. Например, 3.Интегралы вида , где m и n –четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени:   4.Интегралы где вычисляются заменой переменной: или   5.Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки тогда (т.к. =[после деления числителя и знаменателя на ]= ;   Следует заметить, что использование универсальной подстановки нередко приводит к громоздким выкладкам.

§5. Интегрирование простейших иррациональностей

Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей. 1. Функции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.     2. (под знаком интеграла–рациональная функция аргументов ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены . В частности, в интегралах вида обозначают . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней: , то обозначают , где n – наименьшее общее кратное чисел m,k.     74Интегрирование иррациональных функций Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида, интегрируется с помощью подстановки . Интегрирование иррациональных функций, содержащих и Билет 75. Определенный интеграл. Простейшие свойства. Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала). Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.   Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.   - Если функция интегрируема на [ a; b ], то она интегрируема на любом отрезке - Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A - Если f (x) и g (x) интегрируемы на [ a; b ], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке. - Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a   Билет 76. Теорема о среднем значении функции. Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что f(b) − f(a) = (b − a)f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а   сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (a,b) такая, что В частности, если , то     Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] обычно понимают величину Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.     Билет 77. Формула Ньютона – Лейбница. Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл который называется интегралом с переменным верхним пределом. Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке. Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле. Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a). Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле: Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:   Билет 78. Экономические приложения определенных интегралов. Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Зачастую об экономических приложениях интеграла не идет речи и в классах экономического направления. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Коэффициент Джини — статистический показатель, свидетельствующий о степени расслоения общества данной страны или региона по отношению к какому-либо изучаемому признаку (к примеру, по уровню годового дохода — наиболее частое применение, особенно при современных экономических расчётах). Рассчитать коэффициент можно как отношение площади фигуры, образованной кривой Лоренца и кривой равенства, к площади треугольника, образованного кривыми равенства и неравенства. Иначе говоря, следует найти площадь первой фигуры и поделить её на площадь 2ой. В случае полного равенства коэффициент будет равен 0; в случае полного неравенства он будет равен 1. Иногда говорят об индексе Джини как о процентном представлении коэффициента. Коэффициент можно рассчитать по формуле Джини: где G — коэффициент Джини, Xk — кумулированная доля населения (население предварительно ранжировано по возрастанию доходов), Yk — доля дохода, которую в совокупности получает Xk, n — число домохозяйств, yk — доля дохода домохозяйства в общем доходе,  — среднее арифметическое долей доходов домохозяйств.     Билет 79. Несобственный интеграл. Несобственным интегралом  от функции f(x) на полуинтервале [a; называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к , т.е.  (1) Если предел стремящийся к правой части равенства (1), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся. По аналогии с (1) определяется несобственный интеграл на полуинтервале (-  : . (2) Введем понятие несобственного интеграла на интервале (. Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы  и  сходятся. Тогда положим, что . (3), при этом интеграл  называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (3) расходятся, то несобственный интеграл  называется расходящимся. Несобственным интегралом от функции y=f(x) на полуинтервале [a;b) называется предел , где =  (4). Аналогично сводится понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной, но неограниченной на (a;b]: = Билет 80. Понятие двойного интеграла. Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.   Обозначение двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже. Итак, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (криволинейный цилиндр [в отличие от криволинейной трапеции в определенном интеграле]), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - некоторой цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y. Не углубляясь особо в теорию, возьмем из нее главное: Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).