Формула для приращения функции. Дифференциал функции.

Формула малых приращений

Подставив (2) в (1) и отбросив ω (x - x ₀), получаем формулу малых приращений:

Δ f (x ₀) ≈ df (x ₀)

или

f (x) ≈ f (x ₀) + f' (x ₀)(x - x ₀), (4)

позволяющую при малых значениях x - x ₀ приближенно вычислять значения функции f в точках x, близких к точке x ₀, где значения функции f и ее производной известны.

 

Формула конечных приращений

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть — расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение — средняя скорость за этот промежуток.

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:

 

 

Правила дифференцирования функций

Если скалярные величины u и v дифференцируемы, то:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Если вектор-функции u и v дифференцируемы, то

а) d (u ± v) = d u ± d v;

б) d (u, v) = (d u, v) + (u, d v);

в) d (λ u) = u d λ + λ d u (λ - скалярная функция).

Если u и v - скалярные дифференцируемые функции, то

d (u ± iv) = du ± i dv, i ² = -1.

Если A, B - дифференцируемые матричные функции, u - дифференцируемая вектор-функция, то

а) d (A ± B) = dA ± dB;

б) d (A u) = (dA) u + A d u;

в) d (AB) = (dA) B + A dB.

 

Инвариантность формы и геометрический смысл первого дифференциала

Понятие дифференциала

Пусть функция y = f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке x существует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

(1)

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

(2)

(величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

(3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

(4)

или

(5)

Итак, дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

(6)

или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину .

 

Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина) (8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Формулы (8) – (12) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть - сложная функция :

Дифференциал

этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде

Но есть дифференциал функции , поэтому

,

т.е.

(13)

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле (7), хотя аргумент является не независимой переменной, а функцией . Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называют инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Подчеркнём, что в формуле (13) нельзя заменить на , так как

для любой функции , кроме линейной.