Вопрос. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

Если функция , определенная в некоторой области , имеет частную производную  по переменной , то эта частная производная вновь является некоторой функцией, которая в свою очередь может иметь частную производную . Эта функция называется второй производной функции  по переменным  и обозначается символом . Аналогичным образом определяются частные производные .

Мы определили частные производные второго порядка. Третьи частные производные есть производные по соответствующим переменным от вторых производных. Вторые или третьи частные производные часто обозначаются следующим образом:  и так далее.

           Возникает вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирования на вычисленную частную производную. В общем случае влияет, но если функция удовлетворяет некоторым условиям, то нет. Сформулируем соответствующую теорему для случая функции двух переменных.

Теорема (Шварца). Если функция  непрерывна вместе со своими вторыми частными производными в некоторой окрестности , точки , то

.

Дифференциалы высших порядков.

           Пусть в области  задана некоторая функция , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она будет дифференцируема в этой области, и ее дифференциал имеет вид

,

где  - произвольные приращения независимых переменных .

Видим, что  также является функцией от . Если существуют непрерывные частные производные второго порядка функции для , то можно говорить о дифференциале от первого дифференциала , который называется дифференциалом второго порядка от  и обозначается символом .

Приращения  при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Запишем формулу второго дифференциала для функции двух переменных :

.

           Если первый дифференциал символически записать следующим образом

,

то второй будет иметь вид

.

           Можно показать, что аналогичная формула справедлива для дифференциалов любого порядка:

Формула Тейлора.

           Теорема. Если функция  определена и непрерывна вместе со своими частными производными до порядка  включительно в некоторой окрестности  точки , то для приращения   справедлива формула

.

Матрица Гессе.

 

Билет 65. Экстремум функции двух переменных.

Функция  имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке  некоторой окрестности точки , то есть  (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция  достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пусть  стационарная точка функции . Обозначим , ,  и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке  экстремум, а именно минимум, при  (или ) и максимум, при  (или );

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).