Уравнение плоскости по трем точкам:

В векторном виде:

В координатах:  или

 

4. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

В векторном виде:

В координатах:

 

5. Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0

Билет 26. Прямая и плоскость.

 

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0, задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена данным уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

 

 Особые случаи уравнения плоскости:

 

 1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

 

 2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

 

 3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

 

 4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

 

 Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

 

Прямая в пространстве может быть задана:

 

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;                 

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;                                 

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

   

Данное уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.                  

Решая систему, как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b.      

                                

Теперь можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

 

Билет 27. Поверхности 2-го порядка.

Алгебраическим уравнением 2ой степени наз. уравнение вида Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0, где A,B,C,D,E,F - действительные числа. Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим уравнением 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

 

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением               

Однополосный гиперболоид   

Двуполостный гиперболоид          

Эллиптический параболоид          

Конус               

 

 

Билет 28. Действия над комплексными числами.

Итак, всякое комплексное число записывается в виде , где  — вещественные числа. При этом предполагается, что:

1.  в том и только том случае, если  и .

2.

 

Сложение комплексных чисел.

Суммой комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = с + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i.

Таким образом:

  z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Сумма комплексных чисел обладает свойствами:

- коммутативности: z1 + z2 = z2 + z1

- ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)