Билет 35. Вероятность сложных событий. Теорема сложения и умножения вероятностей.

 

Сложные события представляют собой серию опытов и комбинацию всех возможных исходов. Очень важно учесть все возможные исходы, для чего составляется «дерево вероятностей», на котором отражаются последовательность экспериментов и их результаты.

Дерево вероятностей

Опыты представлены здесь последовательностью кружков, а каждый исход — «ветвью» (линией) от соответствующего кружка. Вероятность соответствующего исхода указана около «ветви», а вероятность всего сложного события в ее конце.

Правило сложения вероятностей

Для простоты рассмотрим лишь два события — А и В. Правило сложения вероятностей применяется для подсчета вероятности осуществления событий А или В, или их обоих сразу:

Р(А + В) = Р(А) + А(В) - Р(АВ).

Если события А и В несовместимы, то:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Так как события А и В — несовместимые, то они не могут произойти одновременно, значит:

Р(АВ) = 0.

 

Правило умножения вероятностей

Это правило применяется, когда требуется найти вероятность того, что события А и В произойдут одновременно. Правило умножения вероятностей состоит в следующем:

Р (АВ) = Р (А) х Р (В/А).

Если А и В независимы, то Р (В/А) = Р (В), и правило выглядит так:

Р (АВ) = Р (А) х Р (В).

 

Билет 36. Формула полной вероятности и формула Байеса.

 

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

 

Эта формула называется формулой полной вероятности.

 

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей:

Откуда:

Аналогично для остальных гипотез:

Полученная формула называется формулой Байеса.

 

Билет 37. Формула Бернулли и формула Пуассона.

 

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых P(A)=p, q=1-p - вероятность противоположного события, и имеет вид:

Pn(m)=C(сверху m снизу n)*p^m*q^(n-m).

 

Вероятность появления события А:

1)менее m раз P(X<m)=Pn(0)+Pn(1)+..+Pn(m-1)

2)более m раз P(X>m)=Pn(m+1)+Pn(m+2)+..+Pn(n)

3)не менее m раз P(X≥m)=Pn(m)+Pn(m+1)+..+Pn(n)

4)не более m раз P(X≤m)=Pn(0)+Pn(1)+..+Pn(m)

 

При больших n и маленьких р используется формула Пуассона:

Pn(m)=(λ^m/m!)*e^(-λ), где λ = np.

Билет 38. Отображения и функции. Типы отображений.

 

Отображением множества E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется правило, или закон f, который каждому элементу  ставит в соответствие определенный элемент .

Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или символом , указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что "функция f определена равенством

 

= ". Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение  записывают в виде равенства y = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.

 

Типы

отображений: Отображения на-ся

сюръективными («на»), если f(A)=B, т.е.

каждый Эл. мн-ва B явл образом хотя б 1

 эл мн-ва А Инъективным мн-вом, если

 различаются: x1¹x2Þf(x1)¹f(x2).

Биекция, если оно одновременно

сюръективно и инъективно.