Деформации и напряжения при сдвиге

Пусть на короткий и толстый брус KСDВ длиной ∆ s,заделанный одним концом, действует поперечная сила F, прило­женная в крайнем сечении этого бруса (рис. 1).

 

Рис. 1. Деформации и напряжения при сдвиге

 

Вследствие малой длины бруса пренебрегаем незначительным ис­кривлением его граней KС и BD, тогда деформация бруса под дей­ствием силы F выразится в смещении (сдвиге) грани CD относитель­но грани KВ. Величина перемещения СС ₁(или DD ₁ ) называется аб­солютным или полным сдвигом.

Из треугольника KСС ₁видно, что при изменении длины бруса ∆ s будет изменяться и величина полного сдвига СС ₁. Для получения деформации сдвига, не зависящей от длины ∆ s, введем понятие об относительном сдвиге по аналогии с понятием относительной про­дольной деформации ε.

Относительным сдвигом будем называть величину сдвига, прихо­дящуюся на единицу длины бруса, или частное от деления полного сдвига СС ₁на длину бруса ∆s:

(1)

Здесь tgγ приравнен углу γ ввиду его малости.

Сопоставляя деформацию сдвига с деформацией растяжения (сжатия), отметим, что первая из них характеризуется относитель­ным сдвигом γ, а вторая — относительной продольной деформацией ε, К этим двум основным видам деформаций может быть приведена любая сложная деформация тела.

Проводя мысленно сечение 1—1 (рис. 1) и рассматривая пра­вую отсеченную часть бруса, замечаем, что уравновесить внешнюю силу F могут только внутренние силы, расположенные в плоскости сечения. Это значит, что при сдвиге во всех сечениях типа 1—1 воз­никают только касательные напряжения τ. Распределение этих на­пряжений по высоте сечения не будет равномерным, но для решения многих практических задач на сдвиг можно допустить, что касатель­ные напряжения распределяются равномерно по всей площади сече­ния А (рис. 1). При этом допущении равнодействующая всех внут­ренних касательных сил будет τ∙ А.

Приравнивая нулю сумму проекций всех сил, действующих на правую отсеченную часть бруса, получим

τ∙ А − F = 0

или

τ = . (2)

Несмотря на внешнее сходство этой формулы с известной форму лой

σ = , (3)

необходимо помнить, что равномерный характер распределения нормальных напряжений а по всему сечению является до­статочно точным и подтверждается опытом, а равномерность распределения касательных напряжений τ является условным, упрощаю­щим расчеты допущением. В теории изгиба будет показано, что каса­тельные напряжения τ распределяются по высоте сечения далеко неравномерно, и формула (23) дает только среднее значение этих напряжений. Любое сложное напряженное состояние тела всегда можно привести к двум основным видам напряжений: нормальному σ и касательному τ. Первому из них соответствует линейная относи­тельная деформация ε, а второму — угловая γ.

Опыты подтверждают, что закон Гука справедлив и при сдвиге, если сдвигающая поперечная сила F не превосходит определенного предела.

По аналогии с формулой для нормальных напряжений σ при

растяжении и сжатии σ = Е ∙ε напишем закон Гука при сдвиге

τ = G ∙ γ(4)

Читается он так: касательные напряжения прямо пропорциональны относительному сдвигу.

Здесь G — коэффициент пропорциональности, называемый моду­лем упругости при сдвиге или модулем поперечной упругости. Этот модуль, так же как и модуль продольной упругости Е, характеризует физические свойства материала. Определяется он опытным путем и является мерой сопротивляемости материала при сдвиге: чем больше величина G, тем меньше деформация сдвига γ.

В сопротивлении материалов, как прави­ло, рассматриваются твердые однородные изотропные тела, т. е. такие, у которых упругие свойства во всех точках и по всем направле­ниям одинаковы.

Упругие свойства однородных и изотропных тел вполне определя­ются тремя известными характеристиками:

1) коэффициентом Пуассона μ, выражающим зависимость между
относительными поперечной ε _у и продольной ε деформациями;

2) модулем продольной упругости Е, характеризующим степень
сопротивляемости материала при растяжении и сжатии;

3) модулем поперечной упругости G, характеризующим степень
сопротивляемости материала при сдвиге.

Между указанными тремя упругими характеристиками μ, E и G существует зависимость, которую приводим без доказательства

. (5)

Эта формула дает возможность определить любую из трех физичес­ких характеристик, если две другие известны. Зависимость (5) подтверждается зкспериментально.

Принимая коэффициент Пуассона μ = 0,25, получаем

. (6)

Например, для стали Е = 2∙10⁵ МПа, коэффициент Пуассона μ = 0,25 и по формуле (6) найдем, что модуль поперечной упругости G для стали равен:

G = 0,4∙2∙10⁵ = 8∙10⁴ МПа.

При других значениях μ будет другая зависимость между G и Е.

Из формулы (5) также следует, что при любом значении μ (от 0 до 0,5) модуль поперечной упругости G будет меньше модуля про­дольной упругости Е.

При численно равных значениях σ и τ дефор­мация сдвига γ будет всегда больше продольной деформации ε во столько раз, во сколько раз Е больше G. Это видно из сравнения формул σ = Е ∙ε и τ = G ∙ γ; приравнивая правые части этих выражений, получаем

Е ∙ε = G ∙ γ,

откуда

. (7)

Решение практических задач па сдвиг (срез, скалывание) обыч­но связано с необходимостью проверки на смятие. Смятием будем на­зывать местное сжатие двух соприкасающихся тел (деталей конст­рукции). Явление сдвига в дереве называют скалыванием.

Формулы для расчета на сдвиг и смятие аналогичны формулам для расчета на растяжение и сжатие:

τ = ≤ [τ], (8)

σ_см = ≤ [σ_см]. (9)

 

Здесь [τ] — допускаемое напряжение на сдвиг;

[σ_см] — допускаемое напряжение на смятие.

Значения допускаемых напряжений [τ] и [σ_см] приводятся в нор­мах проектирования конструкций.