Принятие решений при известных априорных

Вероятностях.

Самый простой случай неопределенности — т.н. «доброкачественная» или стохастическая неопределенность, когда состояния природы имеют какие-то вероятности. Тогда естественно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально.

Ситуация ПР в условиях риска возникает в случаях, когда известны априорные вероятности состояний природы

р(Q₁), р(Q₂), …, р(Q_n),

. (5)

Естественно воспользоваться этой дополнительной информацией. С этой целью для каждой операции а_i находят взвешенные суммы полезностей

i=1,2, …, m, (6)

и выбирают в качестве наилучшей ту операцию , для которой взвешенная сумма полезностей в (6) максимальна,

Любопытно отметить, что та же стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, обращает в минимум в средний риск. Так что в случае стохастической неопределенности оба подхода («от выигрыша» и «от риска») дают одно В то же оптимальное решение.

Пусть в рассмотренном выше примере р(Q₁)=0.25, р(Q₂)=0.75. По данным табл. 3 имеем

= 1×0.25 + 11×0.75 = 8.5,

= 10×0.25 + 6×0.75 = 7.0,

= 0×0.25 + 14×0.75 = 10.5,

max (8.5; 7.0; 10.5) = 10.5.

Следовательно, наилучшей операцией является операция а₃, если р(Q₁)=0.25, р(Q₂)=0.75. Но при других значениях априорных вероятностей состояний природы возможен и другой выбор. Используя данные табл.3 и формулу (6) для каждой операции а_i, i = 1,2,3, имеем

= р +11(1– p) = 11 – 10p,

= 10p +6(1 – p) = 6 + 4p,

= 14(1 – p) = 14 – 14p.

На рис.А даны графики функций , i= 1, 2, 3.

Прямые , пересекаются в точке В, при , вычисленного из равенства 6 + 4р = 14 – 14р. Из рис. А следует, что при лучшей операцией является а₃, а при лучшей операцией является а₂.

При безразлично, какую операцию а₂ или а₃ использовать. Операцию а₁ применять невыгодно.

Если р=0 или 1, то имеем ситуацию ПР в условиях достоверности. При р=0 лучшая операция – а₃, при р=1 лучшая операция – а₂.

 

1.7. Задания для самостоятельного решения

 

Вариант 1

Предприятие производит электротермометры ЭТ-2000, которые c вероятностью p могут быть дефектными. Количество изделий в партии 200. Прошлый опыт указывает, что из-за неустойчивой работы производственной линии p равно либо 0.05, либо 0.10, либо 0.25. Причем, в 70 % произведенных партий, p равняется 0.05, в 20% - p= 0.10, а в 10% партий p равняется 0.25. ЭТ-2000 используются при сборке приборов, и в конечном счете их качество будет определено конечным ОТК. При этом можно или испытывать каждый электротермометр на специальном стенде, что обходится в $8 за штуку и отбрасывать дефектные или использовать его на сборке непосредственно без испытания. Если выбрано последнее, дефект обнаружится при сплошном оконечном контроле, а стоимость переделки составит в конечном счете $90 за каждый прибор.

a. По этим данным постройте матрицу прибылей и рассчитайте ожидаемые затраты на каждую партию. Какое решение следует принять, испытывать электротермометры или нет?

b. Допустим, что из каждой партии можно отправить в лабораторию 10 термометров, и по этой выборке достоверно установить процент бракованных изделий в партии. Стоимость анализа $200. Стоит ли проводить такой анализ? Каковы будут суммарные издержки в этом случае?

 

 

Вариант 2

Годовой запас ботинок некоторого популярного типа для большого универмага нужно заказывать заранее. Каждая пара стоит $ 30, продается за $ 60, и может быть продана на распродаже только за $ 15, если не будет продана до конца года. Рассматриваются следующие варианты заказа: 20, 30, 40 или 50 пар.

Уровни спроса и их вероятности даны в таблице:

 

Спрос
Вероятность	0.20	0.25	0.20	0.15	0.10	0.05	0.05

 

Сформируйте матрицу прибылей (выигрышей) и матрицу упущенных возможностей (рисков). Сколько пар ботинок нужно заказывать, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль? Используйте критерии максимина, минимаксного риска и максимума ожидаемой прибыли для принятия решения о величине заказа.

 

 

Вариант 3

Маленькая кондитерская в курортном городе продает выпечку собственного производства. Фирменные торты выпекаются каждое утро и продаются по цене 210 рублей (при себестоимости – 90 рублей). Если торт не продается в день изготовления, он выбрасывается. Записи, которые ведет хозяйка, показывают, что за последние 100 дней спрос на эти торты имел следующее распределение.

 

Кол-во проданных тортов
Кол-во дней

 

 

Используйте критерии максимина, минимаксного риска и максимума ожидаемой прибыли для принятия решения о партии тортов.

 

Вариант 4

Менеджер закупочного отдела магазина хозяйственных товаров должен решить сколько циркулярных пил закупить для продажи в текущем строительном сезоне. Каждая пила покупается у дилера за 1800 рублей, а продается в магазине за 3000 рублей. Каждая непроданная в сезон пила требует серьезных расходов на хранение и в результате приносит убыток 750 рублей. Менеджер может покупать товар у дилера только партиями по 100 штук. Из прошлого опыта известны вероятности продать партии товара различного размера.

Спрос
Вероятности	0.1	0.2	0.3	0.25	0.15

 

Сформируйте матрицу прибылей (выигрышей) и матрицу упущенных возможностей (рисков). Используйте критерии максимина, минимаксного риска и максимума ожидаемой прибыли для принятия решения о величине заказа циркулярных пил. Какова будет средняя прибыль при каждом из выборов партии?

 

Вариант 5

Виктор - прилежный студент, получающий хорошие отметки благодаря, в частности тому, что имеет возможность повторить материал в ночь перед экзаменом. Перед завтрашним экзаменом Виктор столкнулся с тем, что его сокурсники организовали вечеринку, в которой он не хочет участвовать. Виктор имеет три альтернативы:

А1 – участвовать в вечеринке всю ночь.

А2 – половину ночи участвовать, а половину учиться,

А3 – учиться всю ночь.

Профессор, принимающий экзамен, непредсказуем в том смысле, что экзамен может быть легким (S1), средним (S2) или трудным (S2). Можно ожидать следующие экзаменационные балы:

 

	S1	S2	S2
А1
А2
А3

 

Найти выигрышные стратегии с использованием критерия Вальда, критерия Сэвиджа, критерия Гурвица (3 разных варианта показателя оптимизма), критерия Лапласа. Сформулировать собственную рекомендацию Виктору.

 

Вариант 6

В приближении посевного сезона фермер имеет четыре альтернативы:

А1 – выращивать кукурузу,

А2 – выращивать пшеницу,

А3 – выращивать соевые бобы,

А4 – использовать землю пот пастбища.

Платежи, связанные с указанными возможностями. Зависят от количества осадков, которые можно разделить на следующие категории:

S1 – сильные осадки,

S2 – умеренные осадки,

S3 – незначительные осадки,

S4 – засушливый сезон.

Платежная матрица оценивается следующим образом

	S1	S2	S3	S4
А1	-20			-5
А2
А3	-50			-10
А4

 

Найти выигрышные стратегии с использованием критерия Вальда, критерия Сэвиджа, критерия Гурвица (3 разных варианта показателя оптимизма), критерия Лапласа. Сформулировать собственную рекомендацию фермеру.

 

 

Вариант 7

Один из N станков должен быть выбран для изготовления Q единиц определенно продукции. Минимальная и максимальная потребность в продукции равна Q^* и Q^** соответственно. Производственные затраты ТС_i на изготовление Q единиц продукции на станке i включает фиксированные затраты К_i и удельные затраты с_i на производство единицы продукции и выражаются формулой ТС_i = К_i + с_i Q.

Решить задачу при следующих данных:

Станок (i)	Кi (долл.)	сi

Найти выигрышные стратегии с использованием критерия Вальда, критерия Сэвиджа, критерия Гурвица (3 разных варианта показателя оптимизма), критерия Лапласа. Сформулировать собственную рекомендацию.

Вариант 8

Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течении предстоящих праздников. Точное число клиентов неизвестно, но ожидается, что оно может принимать одно из четырех значений: 200, 250, 300, 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения наилучших затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

Ниже приводится таблица, определяющая потери в тыс. рублей.

	Клиенты
Уровень предложения		Q1	Q2	Q3	Q4
A1
A2
A3
A4

Найти выигрышные стратегии с использованием критерия принятия решения. Сформулировать собственную рекомендацию.

 

Вариант 9

Национальная школа выживания подбирает место для строительства летнего лагеря в центре Аляски. Число участников сбора может быть: 200, 250, 300, 350. Стоимость проживания будет минимальной, поскольку он строится для удовлетворения небольших потребностей. Отклонения в сторону уменьшения или увеличения относительно идеальных уровней, влекут за собой дополнительные затраты (в силу избытка мест или потерь возможности получить прибыль). А1-А4 представляют размеры лагеря (в кол-ве мест), а S1-S4 число участников сбора. Ниже представлена матрица, описывающая ситуацию.

	S1	S2	S3	S4
A1
A2
A3
A4

 

Проанализировать ситуацию с точки зрения всех критериев.

Вариант 10

Предприниматель решает проблему – какого размера строить предприятие: маленькое предприятие, среднее, крупное.

От маленького предприниматель ожидает прибыль 100 тыс. долл. при плохом спросе, 150 – при среднем, 200 – при хорошем. От среднего предприятия ожидается 180 тыс. при плохом спросе, 250 тыс. – при среднем, 300 – при хорошем. От крупного предприятия ожидается 200 тыс. при плохом спросе, 280 тыс. – при среднем, 350 – при хорошем.

Найти выигрышные стратегии с использованием критерия Вальда, критерия Сэвиджа, критерия Гурвица (3 разных варианта показателя оптимизма), критерия Лапласа. Сформулировать собственную рекомендацию.