Принятие решений при неизвестной априорной

Информации

При рассмотрении критериев для принятия решений в условиях риска предполагается, что распределения вероятностей либо известны, либо могут быть найдены. Эти вероятности называются априорными вероятностями.

Возьмем случай полной («дурной») неопределенности, когда вероятности состояний природы либо вообще не существуют, либо не поддаются оценке даже приближенно. Обстанов­ка неблагоприятна для принятия «хорошего» решения — попытаемся найти хотя бы не самое худшее.

Здесь все зависит от точки зрения на ситуацию, от позиции исследователя, от того, какими бедами грозит неудачный выбор решения. Опишем несколько воз­можных подходов, точек зрения (или, как говорят, нес­колько «критериев» для выбора решения).

Пусть имеется совокупность действий, операций

а₁, а₂,..., а_m, m ³ 2, (1)

которые может совершить человек для достижения поставленной цели, причем одну и только одну операцию а_i, iÎ{1, 2,..., m}, выбирает человек, принимающий решение.

Кроме того, представлен перечень объективных условий, например, состояний природы

Q₁, Q₂,..., Q_n, (2)

одно из которых Q_j, jÎ{1, 2,..., n}, будет иметь место в действительности.

Для каждой операции а_i, i = 1, 2,..., m, при любом условии Q_j, j = 1, 2,..., n, задана полезность (выгода, доход) в некоторых единицах a_ij. Величины a_ij, играющие роль платежей в теории игр, обычно задаются из эвристических, субъективных соображений. При этом возникают специфические трудности при их числовой оценке, обусловленные такими факторами, как: болезни, удовольствия, престиж, репутация и т.д. Величины a_ij можно задавать относительно, поэтому их называют показателями предпочтительности.

Все перечисленные условия, при которых принимается решение, представлены в табл. 1.

 

Таблица 1

Объективные условия Операции	Q1	Q2	…	Qn
a1	a11	a12	…	a1n
a2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
am	am1	am2	…	amn

 

Если ЛПР не располагает никакой информацией о состояниях природы (2), то имеем ситуацию принятия решения в условиях полной неопределенности. Рассмотрим четыре известных подхода ПР в этой ситуации.

 

 

1.2. Максиминный критерий Вальда.

Согласно этому критерию игра с природой ведется как игра с разумным, причем агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае не меньший, чем «нижняя цена игры с природой».

Для каждой операции а_i, i = 1, 2,..., m, находим наихудший исход,

. (3а)

 

Затем определяется то значение i₀, при котором величина максимальна,

. (3в)

 

Принимаемое решение – выбор наилучшей операции из множества исходных (1). Равенства (3а), (3в) можно объединить в одно

. (4)

 

Рассмотренная операция максимин соответствует лучшему из худших исходов. Если руководствоваться этим критерием, олицетворяющим «позицию, крайнего пессимизма», надо, всегда ориентироваться на худшие условия, зная наверняка, что «хуже этого не будет». Критерий максимина является чисто перестраховочным, поскольку природа не может быть сознательным противником. Очевидно, такой подход - естественный для того, кто очень боится проиграть, - не является единственно возможным, но как крайний случай он заслуживает рассмотрения. Максиминную операцию использует только крайний пессимист, не желающий идти ни на какой риск. Обычно такие люди довольствуются малым и предпочитают спокойную жизнь.

 

1.3.Критерий минимакса сожалений Сэвиджа

Этот критерий — тоже крайне пессимистический, но при выборе оптимальной стратегии советует ориентироваться не на выигрыш, а на риск. Выбирается в качестве оп­тимальной та стратегия, при которой величина риска (сожаления) в наихудших условиях минимальна. Сожаление (риска) в ТПР – потери в результате упущенных возможностей.

Пусть природа находится в состоянии Q_s найдем максимальный элемент s-го столбца табл. 1,

.

Мера сожаления определяется как разность:

где если если Тогда при состоя­нии природы Q_s лучшей операцией является : для нее сожаление равно нулю. Изменяя последовательно значения s, s = 1,2,…, n, получим сожа­ление для каждой операции a_i, i=1,2,…, m, при любом состояния природы Q_s, s=1,2,…, n. Матрица сожалений представлена в табл. 2.

Для принятия решения к табл. 2 применяется критерий минимакса (minmax): для каждой операции a_i, i=1,2,…, m, находится наибольшее со­жаление,

 

Таблица 2

Qj ai	Q1	Q2	…	Qn
a1	Da11	Da12	…	Da1n
a2	Da21	Da22	…	Da2n
…	…	…	…	…
am	Dam1	Dam2	…	Damn

 

 

Затем среди членов последовательности , i=1,2,…, m, s = 1,2,…, n, находится минимальный

Последние два равенства соединим в одно:

Принимаемое решение – наилучшая операция

Сущность такого подхода в том, чтобы всячески избегать большого риска при принятии решения. В смысле «пессимизма» критерий Сэвиджа сходен с критерием Вальда, но самый «пессимизм» здесь пони­мается по-другому.

 

1.4 Критерий равновозможных состояний (Лапласа)

По этому критерию выбирается та операция a_i0, для которой сумма полезностей

максимальна,

.

Задача.

Рассмотрим на конкретном примере принятие решений по трем описанным критериям. Пусть m=3, n=2, и матрица полезностей представлена в табл. 3.

 

Таблица 3

 

Qs ai	Q1	Q2
a1
a2
a3

 

Таблица 4

Qs ai	Q1	Q2
a1
a2
a3

 

Например, a_i – i-ый вариант технологического процесса для изготовле­ния некоторых изделий, Q₁ – возникновение дефицита в ближайшие два года на сырье, из которого изготовляются детали, Q₂ – отсутствие такого дефицита.

1. Применяя операцию максимина, получим

Максиминной операцией является операция а₂, гарантирующая 6 единиц полезности.

 

2. Для использования критерия минимакса сожалений необходимо для данных табл. 3 найти матрицу сожалений. Сначала находим максимальный элемент каждого столбца этой таблицы:

Тогда матрица сожалений примет вид, представленный в табл. 4. Применяя к данным этой таблицы критерий минимакса, получим:

max(9, 3) = 9, max(0, 8) = 8, max(10, 0) = 10, min(9, 8, 10) = 8.

Следовательно, операцией, соответствующей минимаксу сожалений, является операция а₂.

По критерию равновозможных состояний для данных табл. 3 имеем:

А_i = 1+11 = 12, A₂ = 10+6 = 16, A₃ = 0+14 = 14, .

 

Значит, оптимальной операцией по критерию равновозможных состояний природы является операция а₂. В рассмотренном примере все три критерия дали один и тот же ответ: операция а₂ является оптимальной, она гарантирует 6 ед. полезности.

Если выбрать операцию а₁, то в случае везения получим 11 ед. полезности, а в случае невезения – всего 1 ед. полезности. Если выбрать операцию а₃, то в случае везения имеем 14 ед. полезности, а в случае невезения – 0 ед. полезности. Операция а₂ гарантирует наибольшую полезность, 6 ед. Конкурирующие операции а₁ и а₃ гарантируют меньшие полезности: 1 ед. и 0 ед., соответственно.

 

Критерий Гурвица

Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. При наиболее оптимистичном подходе можно выбрать действие, дающее max_ai max_{q j} { v(ai, q j) }. (Предполагается, что v(ai, q j) представляет выигрыш, или доход.) Аналогично при наиболее пессимистичных предположениях выбираемое действие соответствует max_ai min_{q j} { v(ai, q j) }. Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего оптимизма и крайнего пессимизма взвеши­ванием обоих способов поведения с соответствующими весами a и 1-a, где 0£a£1. Если v(ai, q j) представляет прибыль, то выби­рается действие, дающее max_ai {a max_{q j} v(ai, q j) + (1-a)min_{q j} { v(ai, q j) }.В том случае, когда представляются затраты, критерий выбирает действие, дающее min_ai {a min_{q j} v(ai, q j) + (1-a)max_{q j} { v(ai, q j) }.Параметр определяется как показатель оптимизма: при =1 критерий слишком оптимистичный; при =0 он слишком пессимистичный. Значение между 0 и 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности =1/2 представляется наиболее разумным.

 

ПРИМЕР: Одно из предприятий должно определить уровень предложенных услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течении предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принимать одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса. Приводится таблица, определяющая потери в тысячах $.

 

 

Положим =1/2. результаты необходимых вычислений приведены

ниже. Оптимальное решение заключается в выборе или .

 

 

			15
			15
			16,5
			22,5