Программирование в системе MatLab.

Файлы, кот. содержат коды языка MatLab, называются М-файлами (текстов.).

Для создания М-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присвоение значений входным аргументом, результатами являются значения выходных переменных.

Открыть редактор/отладчик можно 2 способами:

1) Файл/ Open Selection/ М-file;

2) Использовать команду редактирования Edit.

Сценарии являются самым простым типом М-файла – нет входных и выходных аргументов. Они полезны для выполнения автоматизации последовательности MatLab – команд вычисления, кот. должны были бы многократно вводиться из командной строки.

Ввод команды petals.m в командной строке системы MatLab вызывает выполнение операторов сценария. В сценарии отсутствуют входные и выходные аргументы; программа petals.m сама создает переменные, кот. сохраняются в рабочей области системы MatLab.

Функции являются М-файлами, кот. допускают наличие входных и выходных аргументов. Они работают с переменными в пределах собственной рабочей области, отличной от рабочей области системы MatLab.

М-функция включает следующие компоненты:

- строка определения функции;

- первая строка определения;

- собственно комментария;

- тема функции:

- строчных комментариев.

Строка определения функции сообщает системе MatLab, что файл является М-функцией, а также определяет список входных аргументов.

Первая строка комментария так названа из-за того, что это первая строка подсказки, немедленно следующая за строкой определения функции. Из-за того, что она состоит из текста комментария, первая строка комментария начинается со знака %. Чтобы ее увидеть, надо набрать команду help function hame.

Использование переменных в М-файле ничем не отличается от использования переменных в командной строке:

- переменные не требуют предварительного объявления;

- любая операция присваивания создает переменную, если это необходимо;

- имена переменных начинаются с буквы (MatLab работает с первыми 31 символами имени).

Обычно каждая М-функция, задаваемая в виде М-файла, имеет собственные локальные переменные.

Операторы системы MatLab делятся на 3 категории:

- арифметические – позволяют конструировать арифметические выражения и выполнять числовые вычисления;

- операторы отношения – позволяют сравнивать числовые операнды;

- логические – позволяют строить логические выражения (если, и).

Планирование эксперимента и обработка моделирования.

При постановке любого эксперимента обязательно возникает вопрос необходимом количестве измерений (повторностей).

В соответствии с законом больших чисел, при увеличении числа измерений некоторой величины точность полученного расчетным путем среднеарифметического значения возрастает, стремясь в пределе к истинному значению. Однако обычно нет практической возможности проводить большое количество испытаний, опыт должен быть ограничен разумным количеством повторностей. Большое значение зачастую имеет также необходимость достаточно быстрого получения результатов исследования. Задача может быть сформулирована так: • сколько измерений необходимо выполнить, чтобы сделать надежные выводы об изучаемом явлении? • какие именно измерения и в каком количестве должны быть использованы в качестве представительного образца при анализе изучаемого явления?

Другими словами, необходимо определить, какой величины должен быть объем выборки, чтобы она верно передавала свойства анализируемого объекта. Статистика дает на это следующий ответ: объем выборки зависит от заданной степени точности результата и не зависит от исходного объема объекта наблюдения, т.е. от того, из какого именно числа единиц состоит генеральная совокупность (изучаемый объект).

Степень точности результата определяется величиной вероятности, с которой должно быть сделано соответствующее заключение. Принято называть результат, который только в одном случае из 20 получился бы ошибочным, статистически достоверным; результат, который получился бы ошибочным только один раз из 100 случаев - высоко достоверным, а один раз из 1000 случаев - очень высоко достоверным. Сокращенно это обозначается: в первом случае - α = 0,05, во втором - α = 0,01 и в третьем - α = 0,001, где α - уровень значимости.

Таким образом, в первом случае в качестве границы достоверности избрана 95 %-ная вероятность. Это исследование выполнено на уровне значимости α = 0,05, который в большинстве случаев определяет, что полученные в эксперименте значения изучаемой величины будут охватывать весь возможный диапазон ее варьирования на 95 %. Это соответствует интервалу М± 1,96 σ. Иногда условия задачи диктуют необходимость выбора более строгих ограничений, в связи с чем заданная точность (вероятность) повышается до 99 %. Это соответствует М± 2,58σ.

Основные принципы планирования эксперимента

Методы построения экспериментальных факторных моделей рассматриваются в теории планирования эксперимента.

Цель планирования эксперимента — получение максимума информации о свойствах исследуемого объекта при минимуме опытов. Такой подход обусловлен высокой стоимостью экспериментов, как физических, так и вычислительных, и вместе с тем необходимостью построения адекватной модели. Планирование осуществляют как активного, так и пассивного эксперимента. Планируемый активный эксперимент при прочих равных условиях точнее и информативнее, а иногда и дешевле пассивного. Это следует учитывать при выборе вида эксперимента. В вычислительном эксперименте, в отличие от физического, нет никаких ограничений на выбор управляемых факторов и характер их изменения. Поэтому вычислительные эксперименты обычно всегда реализуются как активные.

При планировании активных экспериментов используются следующие принципы: отказ от полного перебора всех возможных состояний объекта; постепенное усложнение структуры математической модели; сопоставление результатов эксперимента с величиной случайных помех; рандомизация опытов; оптимальное планирование эксперимента.

Детальное представление о свойствах поверхности отклика может быть получено лишь при условии использования густой дискретной сетки значений факторов, покрывающей все факторное пространство. В узлах этой многомерной сетки находятся точки плана, в которых проводятся опыты. В этом случае в принципе можно получить факторную модель, которая будет практически почти полностью соответствовать исходной теоретической модели. Однако в большинстве случаев при решении практических задач, для которых используется факторная модель, такого детального описания не требуется. Выбор структуры факторной модели основан на постулировании определенной степени гладкости поверхности отклика. Поэтому с целью уменьшения количества опытов принимают небольшое число точек плана, для которых осуществляется реализация эксперимента.

В отсутствие априорной информации о свойствах функции отклика нет смысла сразу строить сложную математическую модель объекта. Если проверка этой модели на адекватность не дает удовлетворительного результата, ее постепенно усложняют путем изменения структуры (например, повышая степень полинома, принятого в качестве факторной модели, или вводя в модель до­полнительные факторы и т. п.). При этом используются результаты опытов, выполненных при построении простой модели, и проводится некоторое количество дополнительных опытов.

При большом уровне случайной помехи получается больше в одной и той же точке плана. В этом случае оказывается, что чем выше уровень помехи, тем с большей вероятностью простая модель окажется работоспособной. Чем меньше уровень помехи, тем точнее должна быть факторная модель.

Кроме случайной помехи при проведении эксперимента может иметь место систематическая помеха. Наличие этой помехи практически никак не обнаруживается и результат ее воздействия на функцию не поддается контролю. Однако если путем соответствующей организации проведения опытов искусственно создать случайную ситуацию, то систематическую помеху можно перевести в разряд случайных. Такой принцип организации эксперимента называют рандомизацией систематически действующих к ошибкам эксперимента. Ошибки подразделяют на систематические, и случайные, соответственно наименованиям вызывающих их факторов — помех.

К факторам в активном эксперименте предъявляются определенные требования. Они должны быть: управляемыми (установка заданных значений и поддержание постоянными в процессе опыта); совместными (их взаимное влияние не должно нарушать процесс функционирования объекта); независимыми (уровень любого фактора должен устанавливаться независимо от уровней остальных); однозначными (одни факторы не должны быть функцией других); непосредственно влияющими на выходные параметры,

В вычислительном эксперименте реализация трех первых эксперименте могут возникнуть сложности и даже невозмож­ность их осуществления, что приведет к необходимости замены активного эксперимента пассивным. Функции отклика должны быть:

3) численно измеряемыми', иметь четкий физический смысл; однозначными (характеризовать только одно свойство объекта); информативными (полностью характеризовать определенное свойство объекта); статистически эффективными (измеряться с достаточной точностью с целью сокращения дублирования опытов).

11.3. План эксперимента

При проведении активного эксперимента задается определенный план варьирования факторов, т. е. эксперимент заранее планируется. План эксперимента — совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Планирование эксперимента — выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. Количество принимаемых уровней факторов зависит от выбранной структуры факторной модели и принятого плана эксперимента. Минимальный Xj_mi_n и максимальный Xj _max, / = 1, п (п — число факторов) уровни всех факторов выделяют в факторном пространстве некоторый гиперпараллелепипед, представляющий собой область планирования. В области планирования находятся все возможные значения факторов, используемые в эксперименте.

Центр эксперимента стремятся выбрать как можно ближе к точке, которая соответствует искомым оптимальным значениям факторов. Для этого используется априорная информация об объекте. Факторы нормируют, а их уровни кодируют. В кодирован­ном виде верхний уровень обозначают +1, нижний —1, а основной 0.

11.6. Планы экспериментов и их свойства

Для проведения активных экспериментов разработано множество различных планов. Планы учитывают как особенности структуры регрессионных моделей, так и требования их эффективности с позиций повышения точности получаемых моделей и снижения затрат на проведение эксперимента.

При построении линейных моделей или нелинейных, содержащих только взаимодействия факторов, но без квадратов этих факторов (регрессий первого порядка), каждый фактор можно варьировать только на двух уровнях. Для получения таких моделей используют планы первого порядка.

Известно несколько разновидностей планов первого поряд­ка. Эти планы различаются в зависимости от структуры регрессионной модели. Они предназначены для планирования следующих видов экспериментов: однофакторного (классического) эксперимента; полного факторного эксперимента; дробного факторного эксперимента.

Если в регрессионную модель входят факторы в квадрате или с более высокими степенями, то необходимо не менее трех уровней варьирования факторов. При построении квадратичных моделей применяют планы второго порядка. Эти планы часто используют в качестве своего ядра какой-либо план первого порядка, который дополняется так называемыми звездными точками.

План однофакторного эксперимента

Однофакторный (классический) эксперимент предназначен для получения линейной экспериментальной факторной модели вида

у = Ъ₀ + Ь₁х₁ +Ь₂х₂+...+Ь_пх_п. (11.26)

Однофакторный эксперимент предусматривает поочередное варьирование каждого из факторов при фиксированных на некотором уровне значениях остальных факторов.

Статистический анализ результатов активного эксперимента

Прежде чем определять оценки коэффициентов регрессии, необходимо выполнить статистический анализ результатов эксперимента с целью оценки их качества и пригодности для построения регрессионной модели. Статистический анализ включает оценку ошибок параллельных опытов, отсеивание грубых ошибок, проверку однородности дисперсий опытов и определение дисперсии воспроизводимости эксперимента.

Ошибки параллельных опытов. В условиях наличия случайных помех с целью уменьшения случайных погрешностей эксперимента и повышения точности математической модели осуществляется дублирование опытов, т. е. проведение параллельных опытов. Каждый опыт, предусмотренный матрицей спектра плана, повторяется т = 2...5 раз. Рекомендуется число т принимать одинаковым для всех N точек плана. В результате проводится L = Nm опытов, в соответствии с матрицей плана, предусматривающей при этом рандомизацию опытов.

Повторные опыты в одной и той же точке плана при наличии помехи дают различные результаты при определении функции отклика. Разброс результатов относительно оценки математического ожидания функции отклика называют ошибкой воспроизводимости опыта. Эту ошибку надо оценить.

Для каждой точки плана по результатам параллельных опытов находят выборочное среднее, равное среднему арифметическому полученных опытных значений функции отклика

Для оценки отклонения функции отклика от ее среднего значения вычисляется дисперсия воспроизводимости опыта по данным т параллельных опытов в каждой z-ой точке спектра плана

При вычислении S² принимают число степеней свободы k на единицу меньше, чем число параллельных опытов, т. е. k = т - 1. Это обеспечивает несмещенность оценки дисперсии воспроизводимости опыта.

Отсеивание грубых ошибок. Формула справедлива лишь при нормальном распределении случайной величины у. При наличии грубых ошибок опыта распределение у отклоняется от нормального Для обнаружения брака используют t-критерий Стьюдента

Полученное значение f-критерия сравнивается с табличным при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Уровень значимости характеризует вероятность ошибки. Если t > t_T, то это соответствует браку данного опыта и результат его не может быть использован. В этом случае опыт подлежит повторному проведению.

Проверка однородности дисперсий. Однородность дисперсии означает, что среди всех дисперсий S^ нет таких, которые бы значительно превышали все остальные. Для проверки однородности дисперсий во всех точках спектра плана используется либо критерий Кохрена G, либо критерий Фишера F.

Дисперсия воспроизводимости эксперимента. Если дисперсии однородны, то их усредняют и находят дисперсию воспроизводимости эксперимента

Дисперсия Sy представляет собой оценку дисперсии помехи a_g. Так как число степеней свободы при определении дисперсии Sj равно k = т - 1, то число степеней свободы, связанное с оценкой Sy, вычисляется по формуле k = N(m - l).

11.12. Определение коэффициентов регрессионной модели и проверка их значимости

Параметрами регрессионной модели являются коэффициенты регрессии bj, j = О, N_B -1, где N_B — количество базисных функций. Значения коэффициентов регрессии можно получить, решив систему алгебраических уравнений. После определения коэффициентов регрессии проверяют их значимость. Эта проверка осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента.

Полученное значение tj для каждого коэффициента регрессии bj сравнивают с табличным £_т, определяемым при принятом уровне значимости q и числе степеней свободы k = N(m - l), с которым определялась дисперсия воспроизводимости Sy. Если tj < £_т, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента bj принимается и член уравнения регрессии, включающий этот коэффициент, исключается из математической модели. Если же tj < £_т, полагают, что данный коэффициент значимо (неслучайно) отличается от нуля и его следует сохранить в регрессионной модели. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели

По уравнению регрессии можно вычислить предсказанные значения функции отклика у во всех точках спектра Проверку гипотезы об адекватности модели (гипотезы о равенстве дисперсий £д_д и Sy) выполняют по критерию Фишера

Полученные значения статистики F сравнивают с табличным значением критерия Фишера F_T, определяемым в зависимости от уровня значимости q и чисел степеней свободы с которыми определялись дисперсии.

Если F < F_T, регрессионная модель считается адекватной.

При F > F_T гипотеза адекватности модели отвергается. В таком случае нужно либо изменить структуру математической модели, либо уменьшить интервалы варьирования факторов и провести повторно эксперимент с моделью прежней структуры.