Определение напряжений от действия сосредоточенной силы

 

От действия силы N, приложенной в т. О перпендикулярно к горизонтальной плоско­сти, ограничивающей линейно деформируе­мое полупространство (рис.11), во всех точ­ках полупространства, удаленных от т. О, возникает сложное напряженное состояние, характеризующееся напряжениями и перемещениями S_x, S_y, S_z.

Рис. 11. Схема к оп­ределению напряжений

от действия сосредото­ченной силы

В строительной практике наибольший ин­терес представляет закономерность распре­деления нормальных вертикальных напряже­ний σ_Z.

В грунтовом массиве возьмем т. М, по­ложение которой определяется полярными координатами R и β, в системе координат с началом в точке О приложения силы N.

Для упрощения вывода примем как по­стулат, что напряжение σ_R пропорционально Сosβ и обратно пропор­ционально квадрату расстояния R² от точки приложения сосредото­ченной силы до т. М:

(34)

где А - коэффициент пропорциональности, определяемый из условия равновесия:

(35)

Подставив значение А из формулы (35) в формулу (34), получим

(36)

Отнесем величину радиальных напряжений не к площадке, пер­пендикулярной к радиусу, а к площадке, параллельной ограничиваю­щей плоскости и составляющей с ней угол . Получим

(37)

Положение точки М определяется двумя координатами z и r, тогда

(38)

где z - глубина рассматриваемой точки от ограничивающей полупро­странство плоскости;

r - расстояние по горизонтали от т. М до оси Z, проходящей через точку О приложения сосредоточенной силы (рис. 11).

Подставив значение R из формулы (38) в формулу (37), получим

 

Введя обозначение

Окончательно получим

(39)

где коэффициент К табулирован в зависимости от соотношения r/z (табл. 6).

 

 

Определение напряжений от действия нескольких

Сосредоточенных сил

 

 

Рис. 12. Схема к расчету действия нескольких сосредоточенных сил

 

Если к поверхности линейно деформируемого полупространства приложить несколько сосредоточенных сил N₁, N₂, N₃...N_n (рис. 12), то вертикальное сжимающее напряжение в любой точке грунтового массива определится простым суммированием, используя принцип суперпозиции, так как вывод формулы (39) предполагает прямую про­порциональность между напряжениями и деформациями.

(40)

Значения коэффициентов К определяют из табл. 6 в зависимости от соотношения r/z.

 

 

Определение напряжений от действия равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площади

 

Практический интерес для строителей представляет задача об упругом полупространстве, загруженном вертикальной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью Р на прямоугольной пло­щади размером Ixb (рис.13).

Эта задача используется в механике грунтов для определения напряжений в основаниях прямоугольных фундаментов.

 

 

Таблица 6

Значение коэффициента К для вычисления сжимающих напряжений от действия сосредоточенной силы в зависимости от отношения r/z

r/z	К	r/z	К	r/z	К	r/z	К
0.00	0.4775	0.50	0.2733		0.0844	1.50	0.0251
0.01	0 4773	0.51	0.2679	1,01	0.0823	1.51	0.0245
0.02	0 4770	0 52	0.2625	1,02	0.0803	1.52	0.0240
0.03	0.4764	0.53	0.2571	1,03	0.0783	1.53	0.0234
0.04	0.4756	0.54	0.2518	1,04	0.0764	1.54	0.0229
0.05	0.4745	0.55	0.2466	1,05	0.0744	1.55	0.0224
0.06	0.4732	0.56	0.2414	1,06	0.0727	1.56	0.0219J
0 07	0.4717	0.57	0.2363	1,07	0.0709	1.57	0.0214
0.08	0.4699	0.58	0.2313	1,08	0.0691	1.58	0.0209
0.09	0.4679	0.59	0 2263	1,09	0.0674	1.59	0.0204
0.10	0.4657	0.60	0.2214	1,1	0.0658	1.60	0.0200
0.11	0.4633	0.61	0.2165	1,11	0.0641	1.61	0.0195
0.12	0.4607	0.62	0.2117	1,12	0 0626	1.62	0.0191
0.13	0.4579	0.63	0.2070	1,13	0.0610	1.63	0.0187
0.14	0.4548	0.64	0 2024	1,14	0.0595	1.64	0.0183
0.15	0.4516	0.65	0 1978	1,15	0.0581	1.65	0.0179
0.16	0.4482	0.66	0.1934	1,16	0.0567	1.66	0.0175
0.17	0.4446	0.67	0.1889	1,17	0.0553	1.67	0.0171
0.18	0.4409	0.68	0.1846	1,18	0.0539	1.68	0.0167
0.19	0.4370	0.69	0.1804	1,19	0.0526	1.69	0.0163
0.20	0.4329	0.70	0.1762	1,2	0.0513	1.70	0.0160
0.21	0.4286	0.71	0.1721	1,21	0.0501	1.71	0.0153
0.22	0.4242	0.72	0.1681	1,22	0.0489	1.72	0.0147
0.23	0.4197	0.73	0.1641	1,23	0.0477	1.73	0.0141
0.24	0.4151	0.74	0.1603	1,24	0.0466	1.74	0.0135
0.25	0.4103	0.75	0.1565	1,25	0.0454	1.75	0.0129
0.26	0.4054	0.76	0.1527	1,26	0.0443	1.76	0.0124
0.27	0.4004	0.77	0.1491	1,27	0.0433	1.77	0.0119
0.28	0.3954	0.78	0.1455	1,28	0.0422	1.78	0.0114
0.29	0.3902	0.79	0.1420	1,29	0.0412	1.79	0.0109
0.30	0.3849	0.80	0 1386	1,3	0.0402	1.80	0.0105
0.31	0.3796	0.81	0.1353	1,31	0.0393	1.81	0.0101
0.32	0.3742	0 82	0.1320	1,32	0.0384	1.82	0.0097
0.33	0.3687	0.83	0.1288	1,33	0.0374	1.83	0.0093
0.34	0.3632	0.84	0.1257	1,34	0.0365	1.84	0.0089
0.35	0.3577	0.85	0.1226	1,35	0.0357	1.85	0.0085
0.36	0.3521	0.86	0.1196	1,36	0.0348	1.86	0.0070
0.37	0.3465	0 87	0.1166	1,37	0.0340	1.87	0.0058
0.38	0.3408	0.88	0 1138	1,38	0.0332	1.88	0.0048
0.39	0.3351	0 89	0.1110	1,39	0.0324	1.89	0.0040
0.40	0.3294	0 90	0.1083	1,4	0.0317	1.90	0.0034
0.41	0.3238	0.91	0 1057	1,41	0.0309	1.91	0.0029
0.42	0.3181	0.92	0.1031	1,42	0.0302	1.92	0.0024
0.43	0.3124	0.93	0 1005	1,43	0.0295	1.93	0.0021
0.44	0.3068	0.94	0.0981	1,44	0.0288	1.94	0.0017
0.45	0.3011	0.95	0.0956	1,45	0.0282	1.95	0.0015
0.46	0.2955	0.96	0 0933	1,46	0.0275	1.96	0.0007
0.47	0.2899	0.97	0.0910	1,47	0.0269	1.97	0.0004
0.48	0.2843	0.98	0.0887	1,48	0 0263	1.98	0.0002
0.49	0.2788	0.99	0.0865	1,49	0.0257	1.99	0.0001

 

 

Рис. 13. Схема к расчету действия равномерно распределенной

площадной нагрузки

 

Вертикальная составляющая напряжений σ_Z0 в точках, располо­женных на различной глубине под центром прямоугольной площади, определяется по формуле:

, (41)

где

l - длина;

b - ширина прямоугольной площадки загружения;

z - глубина рассматриваемой точки.

Введем обозначение

 

Тогда формула (41) примет вид

(42)

Для точек, расположенных под углами загруженной площади, вер­тикальная составляющая напряжений определится по формуле

(42')

где α - коэффициент рассеивания напряжений с глубиной, принима­ется в зависимости от формы подошвы фундамента, соотношения сторон прямоугольного фундамента и относительной глубины, равной при определении и - при определении (табл. 7).