Связь между массой и энергией

При релятивистских скоростях тела его энергия выражается уже не классической формулой

.

а релятивистской:

, где . (11.1)

Величина m ₀ называется массой покоя тела, а произведение m ₀ с ² − энергией покоя тела. Таким образом, тело обладает энергией уже в силу своего существования. Эта энергия может быть выделена в виде излучения, например, при аннигиляции пары «электрон-позитрон»:

е ⁺ + е ⁻ → 2γ.

Энергия покоя и в других реакциях может частично или полностью переходить в электромагнитную энергию излучения или в кинетическую энергию других частиц. Так например, в происходящей на Солнце реакции синтеза ядер гелия из протонов и нейтронов масса ядра гелия меньше суммарной массы составляющих его частиц:

m _He < 2 m _p + 2 m _n.

При такой реакции синтеза выделяется энергия излучения Е = Δ mc ², где

Δ m = 2 m _p + 2 m _n − m _He. В результате масса Солнца уменьшается на 5 млн. тонн каждую секунду.

Энергия покоя велика. Так например, при полной аннигиляции 1 г вещества выделяется такая же энергия, как при сгорании 2000 тонн нефти.

Вещество	Теплота «сгорания», Дж/кг
mс ^2 Ядерное топливо (U, Pu) Природный газ Нефть Уголь Тротил	10^17 10^14 4·10^7 3·10^7 2·10^7 4·10^6

Из таблицы видно, что даже в ядерных реакторах используемая энергия топлива (урана или плутония) составляет лишь 1/1000 полной энергии, заключённой в его веществе (в ядерной бомбе примерно столько же). Из таблицы также легко подсчитать, что при аннигиляции 1 г вещества выделяется столько же энергии, сколько при взрыве бомбы в 25 килотонн тротила.

Итак, масса покоя не является сохраняющейся величиной.

Величина − это релятивистская масса тела.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Из (11.1) видно, что при υ→ с энергия тела Е →∞. Поэтому для любого тела, у которого m ₀ ≠ 0, скорость света недостижима, хотя к ней можно приблизиться сколь угодно близко. Со скоростью света всегда движутся частицы, у которых масса покоя m ₀ = 0 (фотоны и, возможно, нейтрино).

При υ ≪ с полная энергия тела (11.1) разделяется на сумму энергии покоя и кинетической энергии в классическом смысле. Действительно, при β ≪ 1 по формуле разложения в ряд бинома Ньютона имеем:

.

И тогда из (11.1) получаем:

.

Замечание. Если энергия частицы Е > 2 m ₀ с ², то частица называется ультрарелятивистской. Из формулы (11.1) легко подсчитать, что к ультрарелятивистским относятся частицы, скорость которых υ > 0,9 с.

Пример 1. Известно, что интенсивность солнечного излучения на расстояния орбиты Земли (R _орб = 150 млн км) I = 1,4 кВт/м². Оценить уменьшение массы Солнца за секунду.

Ответ. Δ m = 4,4·10⁹ кг = 4,4 млн тонн.

Решение. Е = Δ mc ². Энергия, излучаемая Солнцем за секунду Е = I 4π R ² . Следовательно, потеря массы за секунду Δ m = Е/с ² ≈4,4 млн тонн.

Пример 2. На сколько увеличится масса волчка (диска радиусом R = 10 см), если его раскрутить до скорости f = 1000 об/с (это примерный предел разрыва сверхпрочной стали)?

Ответ. На 10⁻¹².

Решение. Пусть σ = m ₀ / (π R ²) кг/м² − поверхностная плотность диска, где m ₀ − его масса покоя. Разбивая диск на узкие кольца (r, dr), получаем для массы кольца:

.

Так как (ω r/c) << 1, то

.

И тогда масса кольца в первом приближении

dm = 2πσ rdr + πσ r ³ (ω/ c)² dr.

Интегрируя от нуля до R, получаем для массы всего диска:

m = m ₀ /

Подставляя числовые значения, получаем, что масса вращающегося волчка

m ≈ m ₀ (1+ 10⁻¹²).