Связь работы потенциального поля с изменением энергии

Выберем в пространстве две произвольные точки 1 и 2 и вычислим работу потенциального поля F от точки 1 до 2 (рис. 4.11).

Введём базовую точку М ₀. Тогда, используя свойство аддитивности работы и независимость работы от формы пути, получаем:

А ₁₋₂ = .

Но, по определению,

, ,

следовательно,

А _1-2 = U ₁ − U ₂ = −Δ U. (4.4)

Таким образом, работа потенциального поля между двумя точками равна убыли потенциальной энергии частицы: если работа поля А _1-2 > 0, то потенциальная энергия частицы уменьшается, а при А _1-2 < 0 увеличивается.

Замечание. Δ U = U ₂ − U ₁ − это приращение энергии, а U ₁ − U ₂ − убыль.

Потенциальная энергия в системе СИ, как и работа, измеряется в джоулях.

Кинетическая энергия

Пусть на частицу действует сила F любой природы. Это означает, что:

1) скорость частицы меняется в соответствии с законом Ньютона: F = m ;

2) сила F совершает работу.

Элементарная работа силы F:

dA = F·dl = m = m (υ· d υ) = m d *⁾.

Видно, что работа силы F идёт на приращение некоторой величины в скобках. Эта величина носит название кинетической энергии Т частицы:

Т = .

При элементарной работе силы F любой природы приращение кинетической энергии частицы dT = dA, а при конечном перемещении частицы изменение её кинетической энергии

Δ Т = Т ₂ − Т ₁ = А _1-2 . (4.5)

Если А _1-2 > 0, то кинетическая энергия возрастает, а при А _1-2 < 0 − убывает.

В системе СИ кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях.

Полная механическая энергия

Работу может совершать сила любой природы − как сила F _конс. со стороны самогǒ потенциального поля (она называется консервативной), так и сила любой иной природы F _стор. (такие силы называются сторонними), или же их комбинация. Например. частица может двигаться в потенциальном поле тяжести, но с трением, т. е. F = F _конс. + F _тр . В гравитационном поле сторонними силами могут быть силы трения, упругости. Таким образом, в общем случае:

F = F _конс. + F _стор..

Тогда выражение (4.5) можно представить в виде:

Δ Т = А _конс. + А _стор.,

где А _конс. = − работа консервативной силы, А _стор. = − работа сторонней силы. Но, согласно (4.4), работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии частицы: А _конс. = −Δ U, следовательно,

Δ Т = −Δ U + А _стор.,

или:

Δ(T + U) = А _стор. . (4.6)

Отсюда видно, что работа поля сторонних сил идёт на приращение некоторой величины (T + U). Эта величина − сумма кинетической и потенциальной энергий − называется полной механической энергией частицы в потенциальном поле и обозначается символом Е:

Е = Т + U.

Таким образом, приращение полной механической энергии частицы равно работе сторонних сил:

Δ Е = Е ₂ − Е ₁ = А _стор. . (4.7)

Пример. Тело массой m сила F = 2 mg поднимает вверх. Найти скорость тела на высоте h.

Решение. Работа силы A = Fh = Δ E = Δ U + Δ T = mgh + m υ² / 2. Отсюда

υ = .