Импульс тела. Второй закон Ньютона

Определение. Векторная величина

р = m υ,

где m ‑ масса частицы, υ ‑ её скорость, называется импульсом этой частицы.

Второй закон Ньютона утверждает следующее: скорость изменения импульса частицы равна действующей на неё силе:

. (3.1)

Далее мы будем иметь дело только с телами постоянной массы, и с учётом того, что р = m υ, а d υ /dt = a,уравнение (3.1) записывать в виде:

m a = F. (3.2)

Уравнение (3.2) читается так: произведение массы частицы на её ускорение равно силе, действующей на частицу. Если на частицу действует несколько сил, то под величиной F в (3.2) следует понимать их векторную сумму.

Уравнение (3.2) часто удобнее записывать так:

m = F. (3.3)

Последнее векторное уравнение эквивалентно трём скалярным:

m = F_x, m = F_y, m = F_z. (3.4)

Уравнения (3.2) ‑ (3.4) называются уравнениями движения частицы.

Замечание. В отличие от кинематических уравнений равномерного или равноускоренного движения, уравнения (3.2) ‑ (3.4) ‑ это динамические уравнения, или просто ‑ уравнения движения.

Из уравнения (3.2) следует, что если на частицу не действует никакая сила, то её ускорение а = 0, т. е. скорость остаётся постоянной: υ = const.

В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н): F = 1 Н ‑ это сила, которая телу массой m = 1 кг даёт ускорения а = 1 м/c². Видно, что размерность силы [ F ] = [кг·м/с²].

Импульс силы

Часто действие силы на частицу бывает настолько кратковременным, что мы имеем возможность наблюдать только начальный (р ₁) и конечный (р ₂) импульсы частицы. Тогда их связь с силой F можно получить лишь в некотором интегральном виде, проинтегрировав уравнение (3.1). Это даёт:

р ₂ − р ₁ = , (3.5)

где t ₂ − t ₁ = Δ t ‑ время действия силы.

Определение. Величина называется импульсом силы (рис. 3.4).

Уравнение (3.5) можно представить в виде:

р ₂ − р ₁ = Δ р = < F >Δ t, (3.6)

где < F > ‑ некоторое среднее значение силы на интервале времени Δ t. Таким образом, изменение импульса частицы равно произведению среднего значения силы на время её действия.

Пример. Стальной шарик массой m = 100 г вертикально падает на стальную плиту со скоростью υ = 1 м/с и упруго отскакивает от неё с такой же скоростью. Время контакта шарика с плитой Δ t = 0,1 мс. Определить среднюю силу удара.

Решение. Так как после удара импульс шарика меняется на противоположный, то Δ р = р ₂ − р ₁ = 2 р ₂ = 2 m υ = 0,2 кг·м/с (рис. 3.5). Тогда, в соответствии с (3.6), средняя сила взаимодействия < F >= Δ р/ Δ t = 2000 Н. Во внесистемных единицах это около 200 кг силы.

 

Движение частицы по окружности.

Центростремительная сила

При движении частицы по окружности радиусом R со скоростью υ частица испытывает центростремительное ускорение а _ц.с = υ²/ R. Значит, по второму закону Ньютона, на частицу должна действовать какая-то сила, обеспечивающая это ускорение. Такая сила может быть любой природы: упругая (сила натяжения нити), кулоновская, гравитационная, сила трения. Или же комбинация (векторная сумма) этих сил.

Определение. Сила любой природы, обеспечивающая движение частицы по окружности и обязательно направленная к центру этой окружности, называется центростремительной.

Центростремительная - это обобщённое понятие силы, подобно тому как термин «еда» является обобщённым понятием хлеба, картошки, капусты. Поэтому нельзя говорить: «есть сила трения, сила упругости и т. д., а есть центростремительная». А следует говорить: «такая-то сила (трения, натяжения, гравитационная или их комбинация) в данной задаче является центростремительной F _ц.с ».

При описании динамики движения частицы по окружности надо исходить из уравнения движения по окружности:

m a _ц.с = m υ² / R = F _ц.с , (3.7)

которое является конкретным применением второго закона (3.2) к движению по окружности. В этом уравнении F _ц.с должна иметь конкретное содержание, оговоренное выше, т. е. в качестве F _ц.с следует подставлять какую-то конкретную физическую силу в её проекции на радиус в направлении к центру, которая обеспечивает движение частицы по окружности.

Пример 1. Шарик на нити длиной l, закреплённой на одном конце, движется в горизонтальной плоскости по окружности с угловой скоростью ω. Надо определить натяжение нити.

Решение. Здесь роль центростремительно играет сила натяжения нити F _н, поэтому уравнение движения шарика по окружности будет таким: F _н = m ω² l, где m ‑ масса шарика. Это и решает задачу.

Пример 2. Спутник летает вокруг Земли по ближней круговой орбите, т. е. по орбите радиусом R ≈ R _З = 6400 км. Найти период движения спутника.

Решение. Здесь центростремительной силой, обеспечивающей движение спутника по окружности, является гравитационная, которая на ближней орбите примерно равна mg, где m ‑ масса спутника, g = 9,8 м/с². Следовательно, уравнение движения спутника по окружности будет таким: m ω² R = mg. Отсюда период Т = 2π/ω = 2π ≈ 84 мин.

Пример 3. Машина едет по закруглению дороги радиусом R = 80 м. При какой скорости машина не удержится на данном радиусе, если коэффициент трения колёс о дорогу k = 0,5.

Решение. В этом примере центростремительной является сила трения F _тр , так что уравнение движения машины по окружности будет таким:

m υ² / R = F _тр .

Пока машина удерживается на данном радиусе, сила трения здесь ‑ это сила трения покоя (сцепления с дорогой). По мере роста скорости растёт и сила трения покоя, удерживающая машину на дороге, но как только она достигнет своего максимального значения ‑ силы трения скольжения kmg, она уже не сможет удерживать машину на данном радиусе. Таким образом, максимальная скорость машины определяется уравнением: m υ² / R = kmg. Отсюда

υ_max = = 20 м/c = 72 км/ч.

Пример 4 (к онический маятник). Шарик качается на нити длиной l, так что он движется по окружности, а нить ‑ по образующей конуса с углом α (рис. 3.6). Найти период движения шарика.

Решение. На шарик действуют две силы: сила тяжести m g и сила натяжения нити F, направленные под углом друг к другу (рис: 3.7), так что в этом примере центростремительной силой является их векторная сумма:

F _ц.с = m g + F _н ,

которая обязательно должна быть направлена к центру окружности и обеспечивает движение шарика по этой окружности радиусом R = l sin α. Таким образом, уравнение движения шарика по окружности будет таким:

m ω² R = F _ц.с ,

или:

m ω² l sin α = mg tg α.

Отсюда, полагая, что α ≠ 0, угловая скорость ω = , а период Т = 2π / ω.

Пример 5. Машина едет со скоростью υ = 20 м/с (72 км/ч) по вогнутому участку дороги радиусом R = 20 м. Найти перегрузку водителя на нижнем участке такой дороги..

Решение. Перегрузка ‑ это отношение веса тела Р (тела шофёра) к силе тяжести mg, где m ‑ масса шофёра. Вес ‑ это сила давления тела на неподвижную относительно него подставку, в данном случае ‑ на кресло машины. А так как, по третьему закону Ньютона, с такой же силой и кресло давит на шофёра, то вес ‑ это фактически сила давления на тело неподвижной относительно него подставки (кресла): P = F _давл. . Поэтому перегрузка

μ = F _давл. /mg.

Значит, остаётся найти эту силу давления. Найдём её.

При движении машины в нижней точке окружности на человека действуют две силы ­ m g и F _давл. (рис. 3.8), сумма которых в проекции на радиус по направлению к центру окружности О и является центростремительной силой. Так что в данном случае уравнение движения человека по окружности будет таким:

m υ² /R = F _давл.− mg.

Деля это уравнение на mg, получаем, что шофёр испытывает трёхкратную перегрузку:

μ = = 3.