ТОП 10:

Предмет механики. Система отсчёта



МЕХАНИКА

 

Учебное пособие

 

Волгоград 2017


СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

1. ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Предмет механики. Система отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Идеализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Первичные понятия механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Основные определения кинематики материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Прямолинейное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Равномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Равноускоренное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Движение по окружности . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1. Угловая и линейная скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2. Угловое (центростремительное) ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3. Неравномерное движение по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.4. Период и частота .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 12

3.1. Понятие силы….. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Третий закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3. Первый закон Ньютона (закон инерции) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4. Принцип относительности Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5. Импульс тела. Второй закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6. Импульс силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.7. Движение чатицы по окружности. Центростремительная сила. . . . . . . . . . . . . . . 16

4. СИЛОВОЕ ПОЛЕ. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1. Силовое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2. Работа поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3. Свойства работы. Единица работы .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4. Мощность.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.6. Потенциальная энергия частицы в силовом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.7. Связь работы потенциального поля с изменением энергии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.8. Кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.9. Полная механическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.10. Закон сохранения полной механической энергии .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.11. Сила как градиент потенциальной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ. 28

5.1. О законах сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2. Закон сохранения импульса системы частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3. Закон сохранения энергии системы частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4. Столкновение двух тел (удар) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4.1.Абсолютно неупругий удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4.2. Абсолютно упругий удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5. Центр масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.6. Уравнение движения центра масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ОКРУЖНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1.1. Момент импульса частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1.2. Вектор угловой скорости .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1.3. Момент инерции частицы .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1.4. Момент силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2. Уравнение движения частицы по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3. Закон сохранения момента импульса системы частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7. ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. . . . . . . . . . 36

7.1. Момент инерции твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2. Теорема Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.3. Уравнение вращения твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.1. Инерциальные системы отсчёта. Преобразования Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.2. Поступательно движущаяся неинерциальная система. Сила инерции . . . . . . . . 40

8.3. Силы инерции в равномерно вращающейся системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9. СВОБОДНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9.1. Понятие колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9.2. Уравнение свободных синусоидальных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9.3. Пружинный маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9.4. Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.5. Физический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.6. Приведённая длина физического маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.7. Преобразования энергии при колебаниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.8. Затухающие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.1. Уравнение вынужденных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.2. Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.1. Постулаты теории относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.2. Связь между массой и энергией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.3. Относительность одновременности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11.4. Относительность интервалов времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.5. Относительность расстояний (длин отрезков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.6. Релятивистский закон сложения скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11.7. Основной закон релятивистской динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.8. Гравитационное красное смещение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.9. Гравитационный коллапс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11.10. Аккреция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

 


ВВЕДЕНИЕ

Идеализации

Для выделения фундаментальных закономерностей движения и взаимодействия тел часто приходится использовать идеализации свойств этих тел. К таким идеализациям относятся следующие:

1. Материальная точка. Это любое тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Одно и то же тело в одних задачах можно рассматривать как материальную точку, а в других следует считать протяжённым. Например, в задачах движения Земли вокруг Солнца Земля принимается как материальная точка определённой массы, а в задачах движения тел вблизи Земли её уже надо считать протяжённым телом.

2. Абсолютно твёрдое тело. Это тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Например, когда по рельсам идёт тяжёлый состав, учитывается их деформация, которая может привести и к их разрушению. А если об рельс удариться лбом, то рельс вполне можно считать абсолютно твёрдым телом.

3. Однородный стержень, однородная нить. Это тоже идеализация. Однородную нить, например, нельзя порвать, ибо разрыв ‑ это уже неоднородность. Она должна быть при этом либо и бесконечно прочной, либо порваться сразу во всех точках.

4. Невесомая и нерастяжимая нить. Такая идеализация принимается при описании движения подвешенных на нити небольших грузов, когда массой и растяжением нити можно пренебречь.

5. Абсолютно упругий удар. Это столкновение двух тел, при котором их кинетическая энергия сначала полностью превращается в энергию их упругой деформации, а затем упругая энергия полностью вновь превращается в кинетическую, т. е. тепловыми потерями при ударе можно пренебречь. Ясно, что это идеализация: никакой упругий шарик не будет прыгать вечно ни на какой упругой платформе.

6. Закон Гука F = kΔх, т. е. утверждение, что упругая деформация тела Δх пропорциональная приложенной к нему силе. Это справедливо лишь при бесконечно малых деформациях, т. е. фактически никогда. При реальных конечных нагрузках зависимость Δх(F) нелинейна и весьма сложна.

Вообще ‑ все линейные законы: закон Гука F = kΔх, закон Ома и = Ri, закон Фурье j = −k Т, закон Стокса F = −kυ ‑ это идеализации, используемые лишь при весьма мягких условиях: небольшие нагрузки, небольшие токи, небольшие перепады температур, небольшие скорости. Их достоинство том, что все они просты.

Первичные понятия механики

Механика имеет дело с тремя первичными понятиями, которые формально не определяются, т. е. не сводятся и не выражаются через другие, а вводятся только описательно, а их единицы представляются через физические эталоны. Это масса, длина и время.

1. Масса m некоторого тела ‑ это количество вещества, содержащегося в этом теле (здесь налицо тавтология, ибо не определено понятие «количество вещества»). Измерить массу тела ‑ значит сравнить её с массой некоторого эталонного тела, масса которого принимается за единицу.

Единицей массы в системе СИ (SI) является килограмм (кг). Килограмм ‑ это масса Pt-Irэталонного цилиндра,хранящегося в одной из лабораторий под Парижем. Практически один килограмм равен массе 1 дм3 чистой воды при температуре 4º С.

2. Длина l (расстояние между двумя точками). Измерение длины отрезка означает количественное сравнение его размеров с эталоном длины.

Единицей длины в системе СИ является метр (м). Раньше (до 1960 г.) эталоном метра служило расстояние между двумя тончайшими штрихами, нанесёнными на Pt-Ir стержне. В 1960 году был введён более точный ‑ атомно-спектроскопический эталон метра: 1 м =1650763,73 λ, где λ − длина волны оранжевого света, излучаемого атомом криптона 86Kr при электронном переходе 5d2 →2р10 (9 знаков точности!).

3. Время t. Время между двумя событиями в одном и том же месте считается измеренным, если параллельно с этими событиями наблюдается некоторый эталонный физический процесс (часы), который постулируется периодическим.

Единицей времени в системе СИ является секунда (с). Секунда ‑ это промежуток времени, в течение которого совершается N = 9 192 631 770 колебаний излучения, соответствующий определённому электронному переходу в атоме 133Cs (такая точность соответствует ±1 секунде за 30 лет!).

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

 

Далее весь курс физики излагается только в системе СИ, состоящей из шести основных и трёх дополнительных единиц:

основные: кг ‑ килограмм (масса), м ‑ метр (длина), с‑ секунда (время),

К ‑ кельвин (температура), А ‑ ампер (ток), кд ‑ кандела (сила света),

дополнительные: моль (количество вещества), рад ‑ радиан (плоский угол),

ср ‑ стерадиан (пространственный угол).

 

 

 
 
Рис. 1.0



Прямолинейное движение

Простейший вид движения ‑ это движение частицы по прямой, например, вдоль оси х. В этом случае во всех определениях разд. 2.1 следует заменить векторы на их х-компоненты:

r(t) → x(t),

Δr → Δx,

υ(t) → υх(t),

а(t) → ах(t).

При этом следует иметь в виду, что все величины в правых частях будут не просто скалярными, а алгебраическими скалярами, т. е. скалярами со знаком. Их знаки определяются положением и направлением перемещения частицы на оси х. Например, положения и скорости частиц 1 и 2 на оси х (рис. 2.2) будут такими: х1 = −2 м, υ1 = −1 м/с, х2 = −1 м, υ2 = +1 м/c.

Равномерное движение

Равномерное прямолинейное движение ‑ это движение с постоянной вдоль оси х скоростью: υ = const. Так как υ = dx/dt, то интегрирование соотношения dx = υ dt даёт:

х(t) = υt + x0 ,

где х0 − начальное положение частицы. Если х0 = 0, то кинематическое уравнение движения частицы по оси х будет таким:

х(t) = υt.

Графики этой зависимости при υ > 0 и при υ < 0 показаны на рис. 2.3.

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение по оси х ‑ это движение с постоянным ускорением. Так как а = dυ/dt, то интегрирование уравнения dυ = adt при а = const и начальной скорости υ(0) = υ0 даёт:

υ(t) = υ0 + at. (2.1)

Величины υ, υ0 и а здесь являются алгебраическими, т. е. они могут быть положительными и отрицательными. Графики функции (2.1) при υ0 > 0 и а > 0 и а < 0 показаны на рис. 2.4.

Интегрируя уравнение (2.1) ещё раз, получаем зависимость х(t) при равноускоренном движении:

х(t) = .

Полагая, что в начальный момент х0 = 0, получаем:

х(t) = . (2.2)

Графики этой функции при х0 = 0, υ0 < 0, а > 0 и при х0 = 0, υ0 > 0, а < 0 показаны на рис. 2.5 (это фрагменты парабол, по-разному ориентированных).

Формулы (2.1) и (2.2) называются кинематическими уравнениями равноускоренного движения. Если выразить t из (2.1) и подставить в (2.2) то получим третье кинематическое соотношение, в котором отсутствует время:

υ2 − υ02 = 2ах.

Замечание. При а < 0 движение иногда называют равнозамедленным, но мы и его будем называть равноускоренным, только с отрицательным ускорением (ведь оно равнозамедленное до тех пор, пока скорость на сменит знак).

Движение по окружности

Движение частицы по окружности для кинематики столь же фундаментально, как и движение по прямой, ибо окружность является прототипом любой кривой. Это означает, что малый участок любой гладкой кривой можно рассматривать как дугу окружности определённого радиуса.

При движении по окружности наиболее характерным является наличие центростремительного ускорения, направленного к центру окружности.

Угловая и линейная скорости

Пусть частица движется по окружности радиусом R с центром в точке О. Её положение на окружности определяется углом φ, образованным её текущим радиусом и какой-либо фиксированной осью, например, горизонтальной, как показано на рис. 2.6. Таким образом, движение частицы по окружности данного радиуса R считается заданным, если задана функция φ(t).

Определение. Величина

ω = , (2.3)

показывающая скорость изменения угла φ, называется угловой скоростью частицы на окружности.

В системе СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с), так как угол φ в системе СИ измеряется в радианах 1 рад = (180/π)º ≈ 57º.

Пусть зависимость φ(t) задана. Вычислим скорость частицы υ вдоль линии окружности, которая в данном случае называется линейной скоростью. По определению, линейная скорость

υ = ,

где Δl − малый элемент длины дуги окружности, соответствующий малому повороту на угол Δφ. А так как для малых углов Δφ ≈ Δl/R (рис. 2.7), то

υ = .

Таким образом, получаем связь между угловой и линейной скоростями:

υ = ωR.

Замечание. Вектор линейной скорости υ всегданаправлен по касательной к окружности (рис. 2.6).

 


Период и частота

При равномерном движении частицы по окружности вводятся понятия периода и частоты.

Определение 1. Время Т, за которое частица совершает один оборот, называется периодом движения частицы по окружности:

Т = .

Определение 2. Величина, обратная периоду, или число оборотов частицы за единицу времени, называется частотой f её движения по окружности:

f = .

Таким образом, ω = 2πf = /T.

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

 


ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

Задачей кинематики является описание движения тел по различным траекториям и не затрагивается вопрос о причинах, или силах, вызывающих это движение. Раздел «Законы Ньютона» открывает более обширную часть механики, называемую «Динамикой», где изучается влияние различных сил на характер движения тел, а также общие законы, которым подчиняются системы взаимодействующих тел в пространстве.

Понятие силы

В разд. 1 были даны понятия массы, времени и длины как первичные и формально не определяемые, а вводимые через эталоны. Эталона силы нет, формально она также не определяется. Её можно ввести лишь описательно, как некоторую меру взаимодействия тел, приводящую либо к изменению характера их движения, либо к их деформациям, как некоторый эквивалент трёх различных фундаментальных взаимодействий: ядерного, электромагнитного и гравитационного. Последнее означает следующее.

Например, тело неподвижно лежит на столе. При этом оно участвует в двух взаимодействиях: гравитационном − со стороны Земли и упругом, которое по существу является электромагнитным, − со стороны поверхности стола. Тело неподвижно, значит эти два взаимодействия в чём-то компенсируют друг друга, хотя их природа совершенно различна. Вот это общее и называют силой, с которой Земля и стол действуют на тело.

Сила F является величиной векторной, т. е. она описывается не одним числом, как скаляры, а тройкой чисел − компонентами: F = {Fx , Fy , Fz }, задающими её направление. Корень квадратный из суммы квадратов компонент даёт модуль этого вектора, или величину силы F:

|F| ≡ F = .

Для силы F справедлив принцип суперпозиции: если к телу приложено несколько сил Fk, то результирующая сила F равна векторной сумме сил Fk :

F = ∑ Fk .

В частности, две силы складываются по правилу параллелограмма (рис. 3.1):

В мегамире основной силой является гравитационная

,

В макромире основная сила − электромагнитная, которая проявляется в различных формах: сухое и вязкое трение, упругость, чисто кулоновское или чисто магнитное взаимодействие зарядов.


Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона утверждает следующее: если тело 1 действует на тело 2 с силой F21 , то тело 2 действует на тело 1 с такой же по величине, но противоположно направленной силой F12 (рис. 3.2):

F12 = −F21

(сила действия равна силе противодействия), причём эти силы имеют одну природу, т. е., например, если одна сила гравитационная, то и другая тоже; если одна кулоновская, то другая тоже кулоновская.

Существенно, что эти силы приложены к разным телам и потому их складывать, вообще говоря, нельзя.

Импульс силы

Часто действие силы на частицу бывает настолько кратковременным, что мы имеем возможность наблюдать только начальный (р1) и конечный (р2) импульсы частицы. Тогда их связь с силой F можно получить лишь в некотором интегральном виде, проинтегрировав уравнение (3.1). Это даёт:

р2 р1 = , (3.5)

где t2 t1 = Δt ‑ время действия силы.

Определение. Величина называется импульсом силы (рис. 3.4).

Уравнение (3.5) можно представить в виде:

р2 р1 = Δр = <Ft, (3.6)

где <F> ‑ некоторое среднее значение силы на интервале времени Δt. Таким образом, изменение импульса частицы равно произведению среднего значения силы на время её действия.

Пример. Стальной шарик массой m = 100 г вертикально падает на стальную плиту со скоростью υ = 1 м/с и упруго отскакивает от неё с такой же скоростью. Время контакта шарика с плитой Δt = 0,1 мс. Определить среднюю силу удара.

Решение. Так как после удара импульс шарика меняется на противоположный, то Δр = р2 р1 = 2р2 = 2mυ = 0,2 кг·м/с (рис. 3.5). Тогда, в соответствии с (3.6), средняя сила взаимодействия <F>= Δр/Δt = 2000 Н. Во внесистемных единицах это около 200 кг силы.

 


Центростремительная сила

При движении частицы по окружности радиусом R со скоростью υ частица испытывает центростремительное ускорение ац.с = υ2/R. Значит, по второму закону Ньютона, на частицу должна действовать какая-то сила, обеспечивающая это ускорение. Такая сила может быть любой природы: упругая (сила натяжения нити), кулоновская, гравитационная, сила трения. Или же комбинация (векторная сумма) этих сил.

Определение. Сила любой природы, обеспечивающая движение частицы по окружности и обязательно направленная к центру этой окружности, называется центростремительной.

Центростремительная - это обобщённое понятие силы, подобно тому как термин «еда» является обобщённым понятием хлеба, картошки, капусты. Поэтому нельзя говорить: «есть сила трения, сила упругости и т. д., а есть центростремительная». А следует говорить: «такая-то сила (трения, натяжения, гравитационная или их комбинация) в данной задаче является центростремительной Fц.с ».

При описании динамики движения частицы по окружности надо исходить из уравнения движения по окружности:

m aц.с = mυ2 /R = Fц.с , (3.7)

которое является конкретным применением второго закона (3.2) к движению по окружности. В этом уравнении Fц.с должна иметь конкретное содержание, оговоренное выше, т. е. в качестве Fц.с следует подставлять какую-то конкретную физическую силу в её проекции на радиус в направлении к центру, которая обеспечивает движение частицы по окружности.

Пример 1. Шарик на нити длиной l, закреплённой на одном конце, движется в горизонтальной плоскости по окружности с угловой скоростью ω. Надо определить натяжение нити.

Решение. Здесь роль центростремительно играет сила натяжения нити Fн, поэтому уравнение движения шарика по окружности будет таким: Fн = mω2 l, где m ‑ масса шарика. Это и решает задачу.

Пример 2. Спутник летает вокруг Земли по ближней круговой орбите, т. е. по орбите радиусом R RЗ = 6400 км. Найти период движения спутника.

Решение. Здесь центростремительной силой, обеспечивающей движение спутника по окружности, является гравитационная, которая на ближней орбите примерно равна mg, где m ‑ масса спутника, g = 9,8 м/с2. Следовательно, уравнение движения спутника по окружности будет таким: mω2 R = mg. Отсюда период Т = 2π/ω = 2π ≈ 84 мин.

Пример 3. Машина едет по закруглению дороги радиусом R = 80 м. При какой скорости машина не удержится на данном радиусе, если коэффициент трения колёс о дорогу k = 0,5.

Решение. В этом примере центростремительной является сила трения Fтр , так что уравнение движения машины по окружности будет таким:

mυ2 /R = Fтр .

Пока машина удерживается на данном радиусе, сила трения здесь ‑ это сила трения покоя (сцепления с дорогой). По мере роста скорости растёт и сила трения покоя, удерживающая машину на дороге, но как только она достигнет своего максимального значения ‑ силы трения скольжения kmg, она уже не сможет удерживать машину на данном радиусе. Таким образом, максимальная скорость машины определяется уравнением: mυ2 /R = kmg. Отсюда

υmax = = 20 м/c = 72 км/ч.

Пример 4 (конический маятник). Шарик качается на нити длиной l, так что он движется по окружности, а нить ‑ по образующей конуса с углом α (рис. 3.6). Найти период движения шарика.

Решение. На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити F, направленные под углом друг к другу (рис: 3.7), так что в этом примере центростремительной силой является их векторная сумма:

Fц.с = mg + Fн ,

которая обязательно должна быть направлена к центру окружности и обеспечивает движение шарика по этой окружности радиусом R = l sin α. Таким образом, уравнение движения шарика по окружности будет таким:

mω2 R = Fц.с ,

или:

mω2 l sin α = mg tg α.

Отсюда, полагая, что α ≠ 0, угловая скорость ω = , а период Т = /ω.

Пример 5. Машина едет со скоростью υ = 20 м/с (72 км/ч) по вогнутому участку дороги радиусом R = 20 м. Найти перегрузку водителя на нижнем участке такой дороги..

Решение. Перегрузка ‑ это отношение веса тела Р (тела шофёра) к силе тяжести mg, где m ‑ масса шофёра. Вес ‑ это сила давления тела на неподвижную относительно него подставку, в данном случае ‑ на кресло машины. А так как, по третьему закону Ньютона, с такой же силой и кресло давит на шофёра, то вес ‑ это фактически сила давления на тело неподвижной относительно него подставки (кресла): P = Fдавл. . Поэтому перегрузка

μ = Fдавл./mg.

Значит, остаётся найти эту силу давления. Найдём её.

При движении машины в нижней точке окружности на человека действуют две силы ­ mg и Fдавл. (рис. 3.8), сумма которых в проекции на радиус по направлению к центру окружности О и является центростремительной силой. Так что в данном случае уравнение движения человека по окружности будет таким:

mυ2 /R = Fдавл.mg.

Деля это уравнение на mg, получаем, что шофёр испытывает трёхкратную перегрузку:

μ = = 3.

 


Силовое поле

Допустим, частица массой m находится в области притяжения какой-то звезды массой М. По закону всемирного тяготения, со стороны этой звезды на частицу действует сила F, направленная к центру звезды:

,

где G – гравитационная постоянная, r – расстояние от частицы до звезды. Если помещать частицу то в одну, то в другую точку пространства (х, у, z), то в каждой точке на частицу будет действовать сила F вполне определённой величины и направления: F = F(х, у, z) (рис. 4.1). В этом случае говорят, что частица находится в силовом поле F(х, у, z). Природа силы F может быть любой: гравитационная, кулоновская, магнитная, упругая.

Теперь сформулируем общее определение силового поля: если в каждой точке (х, у, z) пространства определена сила F = F(х, у, z), действующая на частицу в этой точке и зависящая от координат этой точки, то говорят, что задано силовое поле F(х, у, z).

Для наглядности силовое поле принято изображать силовыми линиями. Силовая линия – это ориентированная линия в пространстве, касательная в каждой точке которой показывает направление силы, действующей на частицу, помещённую в эту точку. Плотность силовых линий пропорциональна величине силы. Так например, силовые линии гравитационного поля точечной или шаровой массы – это радиальные лучи, направленные из бесконечности к этой массе (рис. 4.2, а).

Частным вариантом силовых полей является однородное поле – это поле, постоянное по величине и направлению F = const. Его силовые линии – параллельные равноудалённые ориентированные прямые (рис. 4.2, б). Однородное поле – это идеализация. Однако, всякое радиальное поле в небольших объёмах можно считать примерно однородным. Например, поле Земли на площади в несколько квадратных километров и до высот 50-100 км вполне можно считать однородным: Fconst↑↑g, где |g| = 9,8 м/c2 – ускорение свободного падения у поверхности Земли.


Работа поля

Пусть частица в силовом поле F(х, у, z) перемещается вдоль некоторой ориентированной кривой 1−2. Разобъём эту кривую на малые участки Δlk , которые можно считать малыми векторами (рис. 4.3). На каждом участке на частицу действует сила Fk .

Определение 1. Скалярное произведение вектора Fk на Δlk называется элементарной работой ΔАk поля F (силы F) на участке Δlk :

ΔАk = Fk ·Δlk = Fk cos αk Δlk ,

где αk – угол между векторами Fk и Δlk .

Определение 2. Предельная сумма всех элементарных работ ΔАk на участке кривой 1−2 (криволинейный интеграл) называется работой поля F на этом участке:

А = . (4.1)

Пример 1. Пусть под действием постоянной силы F тело перемещается по оси х от точки х1 до х2 на расстояние s = х2 х1 (рис. 4.4). Тогда, по определению, работа этой силы

А= = F(х2 х1) cos α = Fs cos α.

Мощность

Одна и та же работа может быть совершена за разное время. Для характеристики скорости совершения данной работы вводится понятие мощности.

Определение. Пусть сила F совершила работу А за время Δt. Тогда величина Р = А/Δt называется мощностью, развиваемой силой F на данном интервале времени.

Так как работа А = Δl, то мощность можно представить в виде: Р = F·υ, где υ − скорость тела в данный момент.

В системе СИ мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = .

Потенциальное поле

Итак, если в силовом поле F(х, у, z) частица перемещается из точки 1 в 2, то это поле совершает работу

А1−2 = . (4.2)

В общем случае работа (4.2) зависит от формы кривой 1-2, т. е. по разным траекториям она будет разной: А1-2(I) А1-2(II) (рис. 4.6). Однако, существуют силовые поля, в которых работа (4.2) не зависит от формы пути, а определяется только положениями исходной и конечной точек. Такие поля называются потенциальными.

Покажем, что гравитационное поле точечной (или шаровой) массы М является потенциальным. Для этого вычислим работу такого поля от точки 1 до 2 по произвольной кривой 1-2 (рис.4.7):

А1−2 = .

Но: dl cos α = −dr, . Следовательно,

А1−2 = GMm .

Отсюда видно, что работа поля F не зависит от формы пути 1−2, а определяется только координатами точек 1 и 2, а именно только от их расстояний r1 и r2 до центра звезды М. Следовательно, гравитационное поле F(х, у, z) является потенциальным.

Несложно показать, что однородное поле также является потенциальным.

Следствие. Работа потенциального поля по любой замкнутой траектории (т. е. по контуру) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим рис. 4.6. Две траектории на нём I и II образуют замкнутую кривую. По определению потенциального поля, работы по этим траекториям от точки 1 до 2 одинаковы: А1-2(I) = А1-2(II). А так как при смене направления интегрирования работа меняет знак, то А2-1(II)= − А1-2(II). Следовательно, А1-2(I) + А2-1(II) = 0. А это и есть работа по замкнутой траектории, т. е. по контуру.

Кинетическая энергия

Пусть на частицу действует сила F любой природы. Это означает, что:

1) скорость частицы меняется в соответствии с законом Ньютона: F = m ;

2) сила F совершает работу.

Элементарная работа силы F:

dA = F·dl = m = m(υ·dυ) = m d *).

Видно, что работа силы F идёт на приращение некоторой величины в скобках. Эта величина носит название кинетической энергии Т частицы:

Т = .

При элементарной работе силы F любой природы приращение кинетической энергии частицы dT = dA, а при конечном перемещении частицы изменение её кинетической энергии

ΔТ = Т2 Т1 = А1-2 . (4.5)

Если А1-2 > 0, то кинетическая энергия возрастает, а при А1-2 < 0 − убывает.

В системе СИ кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях.

Полная механическая энергия

Работу может совершать сила любой природы − как сила Fконс. со стороны самогǒ потенциального п







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.232.186.117 (0.041 с.)