Уравнение свободных синусоидальных колебаний

Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка вида

, (9.1)

где символом обозначена вторая производная по времени: , называется уравнением свободных незатухающих синусоидальных (гармонических) колебаний. В этом уравнении х = х (t) – текущее смещение колеблющейся точки от положения равновесия, ω – параметр, называемый собственной частотой колебательной системы.

Уравнение (9.1) называется так потому, что его общим решением является функция

x (t) = X sin(ω t + φ), (9.2)

описывающая синусоидальный колебательный процесс с угловой частотой ω и амплитудой Х. Период таких колебаний Т = 2π / ω (рис. 9.1). Амплитуда Х – это максимальное отклонение от положения равновесия. Выражение (ω t + φ), стоящее под знаком синуса, называется фазой колебаний, а угловой параметр φ – начальной фазой. Угловая частота ω имеет размерность «рад/с». Прямой подстановкой легко проверить, что функция (9.2) действительно является общим решением уравнения (9.1), т. е. обращает его в тождество.

Значения параметров Х и φ в решении (9.2) определяются из начальных условий, т. е. из конкретного способа возбуждения колебаний. Эти конкретные способы будут рассмотрены в разделах 9.2 и 9.3.

Однако в дальнейшем общее решение уравнения (9.1) удобно представлять не в виде (9.2) а таком:

x (t) = А sin ω t +В cos ω t. (9.3)

Коэффициенты А и В здесь легко пересчитываются через Х и φ по известной формуле синуса суммы.

Если окажется, что движение какого-либо тела описывается дифференциальным уравнением вида (9.1), то это движение будет представлять собой синусоидальные колебания.

Простейшими идеализированными механическими колебательными системами, в которых могут происходить незатухающие колебания, являются маятники: пружинный, математический и физический. Рассмотрим эти три вида маятников по отдельности.

 

Пружинный маятник

Пусть груз массой m, лежащий на идеально гладкой горизонтальной плоскости, прикреплён к пружине жёсткостью k, которая другим концом закреплена на стенке (рис. 9.2, а). Очевидно, что если шарик вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет совершать колебания. Поэтому такая колебательная система называется пружинным маятником. Покажем, что колебания груза в этом случае будут описываться уравнением (9.1).

Проведём ось х как показано на рис 9.2, а, приняв х = 0 в точке равновесия груза. Выведем груз из равновесия, сдвинув его на небольшое расстояние х вправо, и затем отпустим. По закону Гука, на груз при этом будет действовать упругая сила F_x = − kx, направленная против смещения (рис. 9.2, б). Тогда, в силу 2-го закона Ньютона, уравнение движения груза будет таким:

ma_x = − kx,

или:

,

или

, (9.4)

где символом ω² обозначено отношение k/m, т. е.

ω = . (9.5)

Видно, что уравнение движения груза (9.4) полностью совпадает с (9.1), следовательно, груз совершает синусоидальные колебания с угловой частотой (9.5). В общем виде эти колебания описываются функцией (9.3), в которой коэффициенты А и В определяются из начальных условий, т. е. из способа возбуждения колебаний груза. Начальными условиями для уравнения (9.4) являются значения координаты и скорости груза в начальный момент времени: х (0) и (0) = υ(0). Рассмотрим два типичных способа возбуждения колебаний груза: 1) груз оттянули и отпустили; 2) груз толкнули из положения равновесия.

Вариант 1: груз оттянули вправо на заданное расстояние Х и отпустили. Тогда начальные условия запишутся так:

х (0) = Х, υ(0) = (0) = 0.

Подставляя (9.3) в первое начальное условие, получаем:

А sin 0 + B cos 0 = Х,

откуда В = Х (коэффициент А пока не определён).

Подставляя (9.3) во второе начальное условие, получаем:

= А ω cos 0 – B ω sin 0 = А ω = 0,

откуда А = 0. Таким образом, при данном способе возбуждения закон колебаний груза будет иметь вид (рис. 9.3):

х = Х cos ω t. (9.6)

Вариант 2: груз толкнули из положения равновесия, т. е. в момент t = 0 при х = 0 ему сообщили начальную скорость υ₀. В этом случае начальные условия будут иметь вид:

х (0) = 0, υ(0) = (0) = υ₀.

Подставляя (9.3) в первое начальное условие, получаем:

0 = А sin 0 + B cos 0,

откуда В = 0, т. е. теперь можно записать:

х = А sin ω t.

Подставляя это выражение во второе начальное условие, получаем:

υ₀ = А ω cos 0,

т. е. А = υ₀ / ω. И тогда при данном способе возбуждения закон колебаний груза будет иметь вид (рис. 9.1):

х = Х sin ω t, (9.7)

где − амплитуда колебаний.

В обоих вариантах частота колебаний одна и та же (формула 9.5), и она определяется только массой груза и жёсткостью пружины. Период колебаний

.

ПРИЛОЖЕНИЕ: закон Гука и энергия сжатой (растянутой) пружины.

Закон Гука утверждает, что для сжатия или растяжения пружины на величину х, к ней надо приложить силу F, пропорциональную х: F = kx. Коэффициент пропорциональности k называется жёсткостью пружины. Если к пружине прикреплено какое-то тело (груз), то на него со стороны деформированной пружины будет действовать сила, пропорциональная деформации х и противоположно направленная этой деформации: F_х = − kx (рис. 9.2,б).

Растягивая или сжимая пружину, сила F совершает работу

А = ,

в результате которой пружина приобретает потенциальную энергию

W = .

Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к математическому маятнику является небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Итак, пусть шарик массой m подвешен на нити длиной l. Выведем его из равновесия и отпустим. Он начнёт качаться. Составим уравнение его движения и покажем. что оно совпадает с уравнением колебаний (9.1). Но это будет так лишь при условии, что колебания маятника будут малыми. Термин «малые» означает, что максимальное смещение Х шарика от положения равновесия (амплитуда колебаний) будет много меньше длины нити: Х << l (рис. 9.4). А это значит, что максимальный угол отклонения нити α_max<< 1, так как при небольших отклонениях sin α ≈ tg α ≈ α ≈ x/l.

Замечание. В выражении α_max<< 1 угол α, конечно же, надо брать в радианах, т. е. α << 1 рад, т. е. α << 57º, т. е. α ≤ 5º. Таким образом, малым следует считать отклонение, не превышающее 5-6º.

Из рис. 9.4 видно, что при малых отклонениях шарика возвращающая сила F = mg sin α ≈ mg (x/l). А так как эта сила направлена против смещения х, то в проекции на ось х следует записать:

F_х = −mg (x/l).

Тогда, по второму закону Ньютона,

ma_x = − ,

или:

.

Видно, что это уравнение совпадает с (9.1), если обозначить , т. е. шарик будет совершать синусоидальные колебания, описываемые функцией (9.3), и период этих колебаний

(9.8)

не зависит от массы шарика, а только от длины нити и ускорения свободного падания g в данном месте Земли.

Коэффициенты А и В в общем решении (9.3) определяются из начальных условий, т. е. из способа возбуждения колебаний шарика: либо шарик отклонили на величину Х и отпустили (тогда х (0) = Х, υ(0) = (0) = 0), либо толкнули его из положения равновесия с некоторой скоростью υ₀ (в этом случае х (0) = 0, υ(0) = (0) = υ₀). В первом случае А = 0, В = Х, и шарик будет качаться по закону

х = Х cos ω t

с периодом (9.8).

Физический маятник

Рассмотрим ещё одну колебательную систему – твёрдое тело произвольной формы, свободно качающееся на горизонтальной оси в поле тяжести. Такая система называется физическим маятником. Им может быть стержень на оси, кольцо или диск на оси, не проходящей через центр масс.

Итак, пусть твёрдое тело подвешено на горизонтальной оси О (рис. 9.5). Как и для математического маятника, колебания будем считать малыми, т. е. угол отклонения α << 1 рад (57º), т. е. sin α ≈ α.

Поскольку здесь мы имеем движение твёрдого тела с закреплённой осью, то это будет вращательное движение и его следует описывать уравнением вращения:

I = I = M,

где I – момент инерции тела относительно оси вращения О, М – момент силы относительно этой же оси О, − угловое ускорение тела. Из рис. 9.5 видно, что момент силы М = Fl = mgl sin α ≈ mgl α. Но так как этот момент является возвращающим, т. е. он действует на тело против направления отклонения α, то следует записать:

М = − mgl α.

И тогда уравнение вращения тела примет вид:

+ ω² α =0,

где обозначено: ω² = mgl / I. Видно, что это уравнение совпадает с (9.1), т. е. тело будет совершать синусоидальные колебания, описываемые функцией (9.3), и период этих колебаний

(9.9)

Если колебания физического маятника возбуждать, отклоняя тело на некоторый угол α₀ и затем отпуская его, то, как и ранее, несложно показать, что они будут проходить по закону:

α = α₀ cos ω t

с периодом (9.9).

Пример 1. Найти период колебаний кольца радиусом R = 10 см, подвешенного на гвозде. Колебания происходят в плоскости кольца (рис. 9.6).

Решение. Момент инерции кольца относительно точки подвеса О определяем из теоремы Штейнера: I_О = I_C + mR ² = 2 mR ². Следовательно,

≈ 0,9 с.

Пример 2. Найти период колебаний стержня длиной а = 20 см, шарнирно закреплённого на верхнем конце.

Решение. Момент инерции стержня относительно точки подвеса I = mа ²/3. Расстояние между точкой подвеса и центром масс l = а/ 2. Следовательно,

≈ 0,73 с.