Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приведённая длина физического маятника
Сравним периоды колебаний математического и физического маятников: ; . Видно, что комбинация параметров физического маятника I/ (ml) имеет размерность длины. Она называется приведённой длиной физического маятника: . Тогда можно записать: . Если теперь выбрать длину математического маятника l м = l пр , то он будет изохронным данному физическому, т. е. Т м = Т ф. Определение 1. Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника, изохронного данному физическому. Определение 2. Точка О', находящаяся на расстоянии от оси О на линии, проходящей через центр масс С, называется центром качания физического маятника (рис. 9.7). Центр качания О' обладает одним замечательным свойством: если ось качания пропустить через точку О', то период качания ТО' = ТО, т. е. точки О и О' являются изохронными центрами качания. Так например, приведённая длина кольца из Примера 1 l пр = 2 R; приведённая длина стержня из Примера 2 l пр = (2/3) а. 9.7. Преобразования энергии при колебаниях При механических колебаниях происходят периодические преобразования энергии системы из потенциальной в кинетическую и обратно. Рассмотрим такие преобразования на примере пружинного маятника. При максимальном отклонении груза от равновесия его скорость υ = 0, следовательно, его кинетическая энергия W к = 0, но пружина при этом запасла максимальную потенциальную (упругую) энергию W п max = kХ 2 / 2, где k – жёсткость пружины, Х – амплитуда колебаний груза. При возвращении груза к положению равновесия он приобретает максимальную скорость υ0 , значит его кинетическая энергия становится максимальной: W к max = m υ02 / 2, но зато упругая энергия пружины W п = 0. Далее груз, двигаясь по инерции, сжимает пружину, вновь увеличивая её потенциальную энергию и уменьшая свою кинетическую, так как его скорость в процессе сжатия уменьшается. Покажем, что в любой момент времени полная энергия пружинного маятника W полн(t) = W п(t) + W к(t) = const и равна первоначально сообщённой ему энергии W 0 = kХ 2 / 2. Пусть шарику дали начальное отклонение Х и отпустили. Он будет двигаться по закону (9.6). В произвольный момент времени потенциальная энергия пружины , а кинетическая энергия шарика, с учётом (9.7), . Следовательно, полная энергия системы
W полн(t) = W п(t) + W к(t) = . Преобразования энергии колебаний математического и физического маятников аналогичны.
Затухающие колебания Во всякой реальной механической колебательной системе имеются силы трения, приводящие к потерям энергии при и колебаниях и уменьшающие их амплитуду. Например, при качаниях груза на пружине или на нити он испытывает трение о воздух. С достаточной точностью силу такого трения можно считать пропорциональной скорости груза (закон Стокса): F тр = − r υ, где r – коэффициент пропорциональности, называемый сопротивлением среды. Знак «−» означает, что F тр ↑↓ υ. Если колебания происходят вдоль оси х, то F тр. х = − r υ х = −r . Рассмотрим процесс свободных затухающих колебаний на примере груза на пружине (разд. 9.3). При наличии трения, второй закон Ньютона для такого груза будет иметь вид: m = ∑ Fx = F тр. х + F упр. х = − r − kx, или: m + r + kx = 0, или: . Последнее уравнение удобно записывать в каноническом виде: , (9.10) где величина называется коэффициентом затухания, а величина − собственной частотой колебательной системы. Собственная частота ω0 равна частоте свободных колебаний без трения, но немного отличается от частоты ω свободных колебаний с трением. Вид решения уравнения (9.10), как и в разд. 9.3, зависит от способа возбуждения колебаний. Если колебания начинаются при начальном отклонении груза от равновесия на расстояние Х 0 и отпускании его, а сопротивление среды не слишком велико: β < ω0, то решение уравнения (9.10) будет таким: x (t) = X 0 е−β t cos ω t, (9.11) где ω = (9.12) − угловая частота затухающих колебаний. Видно, что частота колебаний с трением меньше частоты ω0 соответствующих колебаний без трения. Функция (9.11) описывает процесс затухающих колебаний. Её график показан на рис. 9.8. Для описания затухающих колебаний вводятся следующие понятия и параметры: 1. Период. Период колебаний . 2. Амплитуда. Экспоненциально убывающий множитель , (9.13) стоящий в (9.11) перед периодической функцией, называется амплитудой затухающих колебаний (рис. 9.8). 3. Время релаксации. Время τ, за которое амплитуда убывает в е = 2,72 раза, называется временем релаксации, или постоянной времени затухающих колебаний. В соответствии с этим определением,
, отсюда . 4. Логарифмический декремент затухания. Натуральный логарифм отношения двух «соседних амплитуд», (т. е. амплитуд, взятых через период Т) называется логарифмическим декрементом затухания δ: . В соответствии с этим определением, . (9.14) На основе этого определения несложно показать, что если измерить некоторую амплитуду Хk и следующую за ней через N периодов Хk+N, то логарифмический декремент затухания можно определить по формуле (9.15) (доказать это самостоятельно). 5. Слабое затухание. Затухание называется слабым, если не просто β < ω0, а β≪ω0. Символ «≪» означает, что меньше, по крайней мере, на порядок. Из соотношения (9.12) следует, что при слабом затухании ω ≈ ω0, т. е. частота свободных колебаний ω практически равна собственной ω0 = . Кроме того, как следует из (9.14), при слабом затухании . 6. Добротность. Важной характеристикой колебательного контура является его добротность Q. Добротность можно определить несколькими эквивалентными способами. Наиболее простое определение такое: Q = , т. е. это величина, обратная логарифмическому декременту затухания с множителем π. Добротность является полезной характеристикой контура лишь при слабом затухании; в этом случае . Измерив убывание амплитуды за несколько десятков периодов колебаний даже простого шарика, подвешенного на тонкой нити и качающегося в воздухе, по формуле (9.15) легко подсчитать, что для него величина δ составляет порядка 0,01, следовательно, добротность Q такого маятника составляетпорядка нескольких сотен. 7. Критическое сопротивление среды. Если сопротивление среды достаточно велико, т. е. она «слишком вязкая», то колебаний груза вообще не будет. Например, если груз находится в вязкой жидкости, то при начальном отклонении он затем просто плавно вернётся к равновесию и остановится. Можно показать, что такой процесс плавного возвращения к равновесию без колебаний будет при условии: β ≥ ω0, т. е., в случае пружинного маятника, когда сопротивление среды r ≥ 2 . Величина r = 2 = r кр , при которой колебательный процесс вырождается в апериодический, называется критическим сопротивлением среды. Можно показать, что в критическом режиме колебательная функция (9.11) вырождается в апериодическую: . График этой функции показан на рис. 9.9. При затухающих колебаниях энергия, периодически превращаясь их потенциальной в кинетическую и обратно, при этом «потихоньку» теряется, рассеиваясь в тепло в основном через трение груза о среду. В качестве полной энергии, имеющейся в колебательной системе в данный момент времени, удобно принять максимум потенциальной энергии, когда кинетическая равна нулю: W полн (t) = kX 2(t) / 2.Подставляя в это выражение формулу (9.13), получаем закон убывания энергии системы при затухающих колебаниях: W полн (t) = W 0 e−2β t , где W 0 − первоначально сообщённая системе энергия. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 712; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.208.72 (0.011 с.) |