Потенциальная энергия частицы в силовом поле

Важнейшим свойством потенциального силового поля F (х, у, z) является существование для него некоторой скалярной функции U (х, у, z), называемой потенциальной энергией частицы в этом поле.

Выберем в потенциальном поле фиксированную точку М ₀ и назовём её базовой. И пусть М (х, у, z) − другая, «переменная» точка в этом поле. В силу потенциальности поля F (х, у, z), его работа от точки М до базовой М ₀ не зависит от формы траектории ММ ₀ , а только от координат точки М (рис. 4.8):

.

Эта скалярная функция f называется потенциальной энергией частицы в силовом поле F (х, у, z) относительно выбранной базовой точки М ₀ и обозначается символом U:

. (4.3)

Формула (4.3) является определением потенциальной энергии частицы в точке М поля F (х, у, z).

Таким образом, потенциальная энергия частицы в точке М относительно выбранной базовой точки М ₀ − это работа поля F (х, у, z) по перемещению частицы из этой точки М в базовую по любому пути.

Из формулы (4.3) видно, что потенциальная энергия частицы является величиной относительной, зависящей от выбора базовой точки М ₀, поэтому при вычислении потенциальной энергии выбор базовой точки всегда оговаривается. Например, при вычислении потенциальной энергии частицы в однородном поле тяжести Земли базовая точка берётся на поверхности Земли. Если вычисляется потенциальная энергия частицы в поле одной или нескольких планет или звёзд, то принимается, что базовая точка М ₀ находится в бесконечности.

Замечание. При вычислении потенциальной энергии в место термина «работа поля» иногда удобнее пользоваться термином «работа внешней силы». Тогда потенциальная энергия частицы в точке М будет определяться как работа внешней силы F _внеш. (мы работаем!) по перемещению частицы в точку М из базовой точки М ₀:

.

Пример 1. Вычислить потенциальную энергию частицы массой m на высоте h над поверхностью Земли.

Решение. Так как здесь потенциальная энергия вычисляется относительно поверхности Земли, то и базовую точку М ₀ следует брать на поверхности, а точку М − в любом месте на высоте h (рис. 4.9). Поскольку работа гравитационного поля F не зависит от формы пути, то выберем этот путь наиболее простым: ММ ₀ = М О + ОМ ₀ , как показано на рис. 4.9. Работа на участке ОМ ₀ равна нулю, так как здесь мы движемся перпендикулярно силовым линиям поля F, а работа внешней силы на участке МО:

А_ОМ = = mgh.

Итак, искомая потенциальная энергия U = mgh.

Пример 2. Вычислить потенциальную энергию планеты массой m на расстоянии r от Солнца. Масса Солнца .

Решение. В астрономических системах потенциальную энергию тела принято вычислять относительно бесконечно удаленной точки М ₀ . В этом случае, выполняя проход по радиусу от точки М (т. е. от радиуса r) до бесконечности (рис. 4.10) и учитывая, что при этом dl ↑↓ F, получаем:

.

Таким образом, потенциальная энергия планеты в гравитационном поле звезды всегда отрицательна.