Угловое (центростремительное) ускорение

Покажем. что частица, двигаясь по окружности радиусом R с постоянной скоростью υ, испытывает постоянное по величине и всегда направленное к центру окружности О ускорение

а _ц.с = υ² / R, (2.4)

которое называется центростремительным.

По определению, ускорение

а = . (2.5)

При равномерном движении по окружности скорость частицы υ хотя и постоянна по величине, но всё время меняется по направлению. А это означает, что отношение Δ υ / Δ t ≠ 0. Вычислим его.

Пусть за малое время Δ t частица из точки М сместилась по окружности на угол Δφ. На рис. 2.8,а показаны векторы скорости в моменты t и (t+ Δ t). Чтобы найти вектор Δ υ = υ (t + Δ t) − υ (t) для его подстановки в (2.5), надо векторы υ (t) и υ (t + Δ t) привести к одной точке, как показано на рис. 2.8, б. И тогда сразу видно, что при малом угле Δφ величина Δυ = υ Δφ. Следовательно, при постоянной по величине скорости υ для ускорения (тоже по абсолютной величине) получаем:

а = .

При Δ t → 0, с учётом (2.3),

а = υ ω = ω² R,

что эквивалентно (2.4), если учесть, что υ = ω R.

Из рис. 2.8,б видно, что вектор Δ υ всегда направлен к центру окружности, следовательно, ускорение частицы также направлено к центру (рис. 2.9), и поэтому оно называется центростремительным:

а _ц.с = = ω² R. (2.6)

Неравномерное движение по окружности

Если движение частицы по окружности неравномерное, то наряду с центростремительным ускорением (2.6), связанным с изменением вектора скорости υ по направлению, появляется и касательное, или тангенциальное ускорение а _τ , связанное с изменением вектора υ по величине:

а _τ = .

Величина ε = называется угловым ускорением. Полное ускорение частицы будет векторной суммой: а = а _ц.с + а _τ . Для модуля полного ускорения получаем (рис. 2.10):

а = .

Период и частота

При равномерном движении частицы по окружности вводятся понятия периода и частоты.

Определение 1. Время Т, за которое частица совершает один оборот, называется периодом движения частицы по окружности:

Т = .

Определение 2. Величина, обратная периоду, или число оборотов частицы за единицу времени, называется частотой f её движения по окружности:

f = .

Таким образом, ω = 2π f = 2π /T.

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

 

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

Задачей кинематики является описание движения тел по различным траекториям и не затрагивается вопрос о причинах, или силах, вызывающих это движение. Раздел «Законы Ньютона» открывает более обширную часть механики, называемую «Динамикой», где изучается влияние различных сил на характер движения тел, а также общие законы, которым подчиняются системы взаимодействующих тел в пространстве.

Понятие силы

В разд. 1 были даны понятия массы, времени и длины как первичные и формально не определяемые, а вводимые через эталоны. Эталона силы нет, формально она также не определяется. Её можно ввести лишь описательно, как некоторую меру взаимодействия тел, приводящую либо к изменению характера их движения, либо к их деформациям, как некоторый эквивалент трёх различных фундаментальных взаимодействий: ядерного, электромагнитного и гравитационного. Последнее означает следующее.

Например, тело неподвижно лежит на столе. При этом оно участвует в двух взаимодействиях: гравитационном − со стороны Земли и упругом, которое по существу является электромагнитным, − со стороны поверхности стола. Тело неподвижно, значит эти два взаимодействия в чём-то компенсируют друг друга, хотя их природа совершенно различна. Вот это общее и называют силой, с которой Земля и стол действуют на тело.

Сила F является величиной векторной, т. е. она описывается не одним числом, как скаляры, а тройкой чисел − компонентами: F = { F_x, F_y, F_z }, задающими её направление. Корень квадратный из суммы квадратов компонент даёт модуль этого вектора, или величину силы F:

| F | ≡ F = .

Для силы F справедлив принцип суперпозиции: если к телу приложено несколько сил F _k, то результирующая сила F равна векторной сумме сил F _k:

F = ∑ F _k.

В частности, две силы складываются по правилу параллелограмма (рис. 3.1):

В мегамире основной силой является гравитационная

,

В макромире основная сила − электромагнитная, которая проявляется в различных формах: сухое и вязкое трение, упругость, чисто кулоновское или чисто магнитное взаимодействие зарядов.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона утверждает следующее: если тело 1 действует на тело 2 с силой F ₂₁ , то тело 2 действует на тело 1 с такой же по величине, но противоположно направленной силой F ₁₂ (рис. 3.2):

F ₁₂ = − F ₂₁

(сила действия равна силе противодействия), причём эти силы имеют одну природу, т. е., например, если одна сила гравитационная, то и другая тоже; если одна кулоновская, то другая тоже кулоновская.

Существенно, что эти силы приложены к разным телам и потому их складывать, вообще говоря, нельзя.