Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Момент инерции твёрдого тела
Пусть твёрдое тело массой m и объёмом V может вращаться вокруг неподвижной оси, причём ось вращения не обязательно проходит через само тело. Разобъём тело на малые элементы Δ mk, и пусть rk – расстояние элемента Δ mk до оси вращения (рис. 7.1). Определение. Моментом инерции I твёрдого тела относительно заданной оси называется предельная сумма моментов инерции всех его частиц относительно этой оси: , (7.1) где ρ = ρ(x, y, z) = dm/dV − плотность тела на элементе dm. Для однородного тела ρ = const, и тогда момент инерции . (7.2) Из определения (7.1) следует свойство аддитивности момента инерции: момент инерции твёрдого тела относительно любой оси равен сумме мометов инерции всех его частей относительно этой оси: I = ∑ Ik, какими бы ни были эти части. Пример 1. Найти момент инерции тонкого кольца радиусом R, массой m относительно его оси. Решение. Разобъём кольцо на малые элементы Δ mk (рис. 7.2). Расстояния каждого из них до оси одинаковы: r k = R. Тогда, из определения (7.1), момент инерции кольца равен сумме моментов инерции его элементов: . Таким образом, момент инерции тонкого кольца I = mR 2. Пример 2. Найти момент инерции однородного диска радиусом R, массой m относительно его оси. Решение. Разобъём диск на бесконечно узкие кольца (r, dr), и пусть dm – масса такого кольца (рис. 7.3). Согласно Примеру 1, момент инерции такого кольца dI = r 2 dm. Теперь проинтегрируем это выражение по всем кольцам, заполняющим диск: , где σ = dm/dS = m/ (π R 2)[кг / м2] – поверхностная плотность диска, т. е. масса единицы площади). Таким образом, момент инерции диска I = mR 2 /2. Пример 3. Найти момент инерции стержня массой m, длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Решение. Разбиваем стержень на малые элементы длиной dx, и пусть dm – масса такого элемента (рис. 7.4). Его момент инерции dI = x 2 dm = x 2 γ dx, где γ = dm/dх = m/l [кг / м] – погонная плотность стержня, т. е. масса единицы его длины). Интегрируя это выражение по всем элементам стержня, получаем: I = ml 3 / 3. Пример 4. Найти момент инерции шара радиусом R, массой m относительно оси, проходящей через его центр. Решение. Разобъём шар на тонкие диски толщиной dx, как показано на рис. 7.5 (на этом рисунке для удобства изображена только половина шара). На высоте х радиус такого диска r = ,
его объём dV = π r 2 dx = π(R 2 – x 2) dx, масса dm = ρ dV, где ρ = − плотность шара, V = − его объём. Тогда, согласно Примеру 2, момент инерции такого диска dI = . Интегрируя теперь по всем дискам, заполняющим шар и подставляя выражение для ρ, получаем, что момент инерции шара I = .
Теорема Штейнера Процедура прямого вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси по формуле (7.2) часто упрощается, если использовать теорему Штейнера. Теорема. Момент инерции IО твёрдого тела относительно произвольной оси О равен моменту инерции IC этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 7.6): IO = IC + ma 2 (без доказательства). Пример 1. Найти момент инерции тонкого кольца радиусом R, массой m относительно оси О, проходящей через его край и перпендикулярной плоскости кольца. Решение. По теореме Штейнера, IO = IC + mR 2 = 2 mR 2. Пример 2. Найти момент инерции стержня массой m, длиной l относительно оси О, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Решение. Так как момент инерции стержня относительно оси О, проходящей через его конец, IО = ml 3 / 3, то IC = IO – m(l/ 2)2 = ml 3 / 3 − ml 2 / 4 = ml 2 /12.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 921; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.227.161.226 (0.006 с.) |