Равновесие связанных (сочлененных) тел

Системой сочлененных твердых тел называют несколько твердых тел, соединенных между собой посредством шарниров, стержней, нитей или касающихся друг друга. Во многих случаях требуется найти силу, с которой одно сочлененное тело действует на другое. Такая задача обычно решается путем рассмотрения каждого тела системы в отдельности. При рассмотрении отдельного тела остальные тела системы будут являться связями, наложенными на это тело, и заменяются реакциями связями. При этом необходимо помнить, что силы взаимодействия двух тел для системы являются внутренними, они равны между собой по абсолютной величине, имеют общую линию действия и направлены в разные стороны. Поэтому при рассмотрении равновесия системы всех тел, вместе взятых, внутренние силы не должны входить в уравнения равновесия.

Систему уравнений можно получить, записав уравнения равновесия для системы в целом и для одной части системы в отдельности. Когда же нужно определить силы во внутренних связях, применяют метод, связанный с расчленением системы на части. Для каждой части имеем три независимых условия равновесия (всего их шесть), из совместного решения которых можем найти шесть неизвестных.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №3

Равновесие сочлененных тел

 

Схемы конструкций плоских систем сочлененных тел представлены на рис.3.5, линейные размеры и действующие на конструкцию нагрузки - в табл. 3.3.

Определить силывзаимодействия, возникающие в промежуточном шарнире B, и усилия вподдерживающихсоставную конструкцию опорах, пренебрегая весами балок.

Рис. 3.5. Схемы конструкций сочлененных тел к расчетной работе № 3

Рис. 3.5 (продолжение)

 

Рис. 3.5 (окончание)

Т а б л и ц а 3.3

Исходные данные к расчетной работе № 3

№ схемы	Линейные размеры (м)	кН/м	F, кН	M, кН м	Углы,
АЕ	AB	BC	CD	BD	q1	q
	2,0 1,5 2,5	7,0 8,0 8,0	– – –	9,0	– – –	– – –	1,2 1,0 0,8
	1,0 1,2 1,4	– – –	2,0 2,4 2,2	– – –	1,4 1,2 1,2	– – –	1,6 1,4 1,2
	1,6 1,4 1,2	8,0 8,0 8,0	– – –	– – –	2,4 2,6 2,2	– – –	1,8 2,0 1,4
	2,0 2,2 1,8	8,0 8,4 8,0	2,0 3,0 2,4	– – –	1,6 2,0 1,2	0,8 0,6 1,0	1,2 1,4 1,2
	1,4 1,6 1,2	8,4 9,0 8,6	3,0 3,2 3,5	– – –	– – –	– – –	1,0 1,2 0,8
	1,8 1,6 1,4	8,0 7,8 8,6	3,0 2,8 3,2	– – –	– – –	– – –	1,2 1,4 1,0
	2,0 1,8 1,6	9,0 8,8 8,6	2,0 1,8 2,0	– – –	– – –	0,6 0,8 1,0	1,8 1,8 1,6
	1,2 1,0 1,4	8,0 7,8 8,4	2,0 1,6 1,8	2,2 2,0 2,0	– – –	0,8 1,0 0,8	1,2 1,4 1,0				– – –
	1,3 1,5 1,6	9,0 8,8 9,0	2,2 2,0 2,0	– – –	– – –	– – –	1,4 1,6 1,2
	1,2 1,3 1,4	8,2 8,4 8,6	2,4 2,0 2,0	– – –	– – –	– – –	1,6 1,4 1,2
	1,0 1,2 1,4	8,0 8,0 8,0	9,0 9,0 9,0	– – –	– – –	1,2 0,8 1,0	– – –
	1,2 1,4 1,3	7,0 7,2 7,6	2,0 1,8 1,6	2,2 2,0 2,0	– – –	– – –	1,2 1,0 1,4				– – –

№ схемы	Линейные размеры (м)	кН/м	F, кН	M, кН м	Углы, град
АЕ	AB	BC	CD	BD	q1	q
	1,4 1,2 1,4	7,0 7,0 7,2	2,0 2,2 2,0	– – –	2,5 2,4 2,2	0,8 0,8 1,0	1,8 1,4 1,6
	1,2 1,2 1,2	7,2 7,4 7,4	2,2 2,4 2,6	– – –	– – –	– – –	1,2 1,6 0,8
	1,2 1,4 1,2	8,0 8,2 8,0	3,0 3,2 3,2	– – –	– – –	– – –	1,2 1,4 0,8				– – –
	1,4 1,6 1,4	8,4 8,6 8,6	3,6 3,2 3,4	– – –	– – –	– – –	1,2 1,0 1,2
	2,0 1,8 1,6	8,0 8,2 8,0	2,4 2,4 2,6	– – –	1,6 1,6 1,8	0,8 0,8 1,0	1,4 1,2 1,2			– – –
	1,2 1,4 1,3	7,0 7,2 7,3	2,0 1,8 2,0	4,0 3,0 4,0	– – –	– – –	1,0 1,2 1,4

 

Пример 3.3 выполнения расчетной работы № 3. Р авновесие плоской произвольной системы сил, приложенной к системе связанных (сочлененных) между собой тел; в данном случае соединенных идеальным шарниром С. Схема составной конструкции показана на рис.3.6,а.

Дано: на составную конструкцию (система двух тел: балка АС и балка СВD) действуют: сосредоточенная сила , момент пары сил М и равномерно распределенная по закону прямоугольника нагрузка интенсивности q на участке ВС, P =2 кН; М = 7 кН·м; q =5 кН/м; a =3м; b =2м; d =4м; α = 30˚. В точке А балка АС жестко заделана в стене, а балка СВD опирается на катковую опору (подвижный шарнир) B. Заменимравномерно распределенную по закону прямоугольника нагрузку сосредоточенной силой = . приложенной посередине участка ВС.

Определить: реакции в жесткой заделке А, момент в заделке , реакцию в подвижном шарнире B и давление в промежуточном шарнире С.

Решение. При рассмотрении равновесия составной конструкции в целом (АСВD) к системе приложены активные силы и активная пара сил с моментом Кроме того, на балку наложены связи: жесткая заделка А, катковая опора B. Отбрасывая мысленно связи, заменяем их действие реакциями (рис.3.6,а). Реакция жесткой заделки (табл.2.1, вар.13) заменяется неизвестной силой с двумя составляющими , , и моментом заделки ; реакция опоры B заменяетсянеизвестной силой (табл. 2.1, вар.4) . Оси координат выберем с началом в точке А, направив абсциссу по горизонтали вправо, ось ординат по вертикали вверх. В результате получаем следующую силовую схему конструкции (рис.3.6,а).

Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом:

ACBD , .

Число неизвестных (, ; ) – четыре, то есть больше числа уравнений равновесия - три, которые можно составить для этой системы сил. Поэтому для решения данной задачи составную конструкцию необходимо разделить на две части (т.е. на две подсистемы АС и СВD) по промежуточному шарниру С (рис.3.6,б). В месте разделения конструкции необходимо показать соответствующие реакции по взаимно противоположным направлениям для каждой из частей. Причем, соответствующие составляющие реакций равны по величине.

Рис. 3.6

Расчетная схема из двух составных частей показана на рис.3.6,б. Каждая из частей находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. Для каждой части конструкции можно составить по три уравнения равновесия, приняв ту же систему координат x y (x –по горизонтали вправо, y – по вертикали вверх).

Рассмотрим равновесие правой части (CBD) системы:

CBD , , .

К правой части системы CBD приложены неизвестные , , - всего три неизвестных, т.е. число неизвестных (, , ) соответствует числу уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил, приложенных к подсистеме CBD:

1. P×cos a×+ = 0; ;

2. P×sin a- Q - + = 0; ;

3. P×sin a - Q × b/2 + = 0.

Рассмотрим равновесие левой части (AC) системы:

AC , , .

К левой части AC балки приложены неизвестные силы , и момент . Силы в точке C равны по величине и противоположны по направлению силам , . Всего в рассматриваемой задаче к конструкции приложено пять неизвестных сил и момент . Для каждой подсистемы (балки) CBD и AC имеем по три уравнения равновесия, т.е. для системы в целом - всего шесть уравнений. Задача статически определима, т.е. число неизвестных равно числу уравнений.

4. - = 0; ;

5. + = 0; ;

6. - + M + × а = 0.

Из (1): = - P ×cos a = 2 × 0,866 = -1,7 kH.

Из (3): = (Q ×1- P ×6×sin 30°)×2 = (10× 1- 2×6×0,5) ×2 = 2kH.

Из (2): = P sin a - Q + = 2× 0,5 – 10 +2 = – 7kH.

Из (4): = = -1.7 кН.

Из (5): = - = 7 кН.

Из (6): = + M + × а = 7 + (-7)×3 = -14 kHм.

Для проверки полученных результатов можно составить уравнение моментов относительно какой-либо точки или уравнение проекций на ось x или y как для всей конструкции, так и для отдельных частей. Любое из этих уравнений при равновесии и подстановке полученных значений реакций должно рав няться нулю.