Равновесие пространственной системы сил

 

Определить реакции в точках закрепления твердого тела. Схемы конструкций представлены на рис.4.1, исходные данные - в табл. 4.1-4.4. Конкретно задача сформулирована в соответствии с номером рисунка схемы.

 

Рис. 4.1. Схемы конструкций к расчетной работе № 4.

Рис. 4.1 (продолжение)

Рис. 4.1 (продолжение)

Рис. 4.1 (продолжение)

Рис. 4.1 (продолжение)

Рис. 4.1 (окончание)

Варианты 1-8: Однородная прямоугольная плита ABCD веса G закреплена в точке A сферическим, а в точке B цилиндрическим шарниром и поддерживается в горизонтальном положении тросом KD или невесомым стержнем KD (вар.5, 6), расположенным в вертикальной плоскости и образующим с горизонтальной плоскостью плиты угол b. На плиту действует сосредоточенная нагрузка , образующая угол a с плоскостью плиты. Определить реакции шарниров A и B и натяжение троса или усилие в невесомом стержне KD (вар.5, 6). Необходимые линейные размеры, углы, величины сил приведены в табл. 4.1.

Варианты 9-14,17: Однородная прямоугольная плита ABCD веса G закреплена в точке A и B цилиндрическим шарниром и поддерживается в горизонтальном положении тросом КС (вар. 12) и KD (вар. 13) или невесомым стержнем KD (вар.9-11, 17), расположенным в вертикальной плоскости и образующим с горизонтальной плоскостью плиты угол b. В вар. 14 плита опирается на острие в точке E. На плиту действует сосредоточенная нагрузка , образующая угол a с плоскостью плиты. Определить реакции шарниров A и B и натяжение троса или усилие в невесомом стержне . Необходимые линейные размеры, углы, величины сил приведены в табл. 4.1.

Т а б л и ц а 4.1

Исходные данные к расчетной работе № 4

№ схемы	Линейные размеры, м	Величины сил, Н	Плоскость, в которой лежит сила	Углы,
Н1	Н2	KD	F	G
	3,0 2,0 3,0	2,0 1,5 2,5	6,0			Параллельна плоскости Ayz
	1,5 2,0 2,0	1,0 1,0 1,5	1,0 0,8 1,8			Вертикальная плоскость, проходящая через ось и диагональ плиты
	1,5 0,8 2,0	1,5 1,0 1,5	2,4 2,0 1,8			Параллельна плоскости Ayz
	1,2 1,0 1,0	2,0 2,4 2,6	3,0 3,5 3,2			Плоскость Ayz
	2,0 1,8 2,0	1,5 1,4 1,0				Параллельна плоскости Axz
	2,4 2,0 2,0	1,2 1,5 1,2				Плоскость Bxz
	1,5 1,8 1,2	1,0 1,2 0,8				Параллельна плоскости Axz
	2,0 1,5 2,0	1,5 0,9 1,2				Параллельна плоскости Axz
	5,0 4,0 3,0	3,0 3,0 2,5				Параллельна плоскости Axz
	5,0 4,0 3,0	4,0 3,0 2,5				Параллельна плоскости Ayz
	2,0 4,0 3,0	2, 0 3,5 2,0				Параллельна плоскости Bxz
	1,2 1,0 1,0	2,0 2,4 2,6				Параллельна плоскости Ayz
	2,0 2,5 3,0	1,5 2,0 2,0				Лежит в плоскости Axz		- - -
	1,5 3,0 2,5	2,0 4,0 3,0				Параллельна плоскости Ayz
	2,0 3,0 1,5	1,5 2,5 1,0				Параллельна плоскости Axz

 

Варианты 15, 16, 19, 20, 23, 24

Вертикальный ворот закреплен в точке A подпятником, а в точке B – цилиндрическим шарниром и нагружен так, как это показано на схемах конструкций (рис. 4.1). Определить при равновесии силы реакций закрепленных точек, а также натяжение ведущей цепи 1, если , где – натяжение ведомой цепи 2. Известно: , . Значения величин , , , , углов , , , образованных радиусами, проведенными в точке схода цепи (точке касания), с диаметром колеса, параллельным оси , приведены в табл. 4.2.

Т а б л и ц а 4.2

Исходные данные к расчетной работе №4

№ схемы	Линейные размеры, м	Величины сил, Н	Момент, (Нм)	Безразмерные коэффициенты	Углы,
R	AB	G	T1	Q	F	М	Н1	Н2
	0,5 0,6 0,8	1,2 1,4 1,6			– – –		10 Н2 10 Н1 15 Н1	3,0 2,0 4,0	2,0 1,0 3,0
// плоскости ; // плоскости ; // // ; .
	0,6 0,9 0,8	1,6 1,5 2,0		– – –			15 Н2 20 Н1 20 Н1	4,0 1,5 2,0	2,0 1,0 1,0
// ; // плоскости ; // плоскости .
	0,6 0,8 0,6	1,2 1,5 1,4		– – –			40 Н2 15 Н1 25 Н2	4,0 3,0 2,0	1,0 2,0 1,0
// плоскости ; // плоскости ; // .
	0,9 0,6 0,6	1,5 1,2 1,8			– – –		20 Н2 10 Н1 15 Н1	3,0 4,0 3,0	2,0 2,0 1,5
// плоскости ; // плоскости ; // // ; .
	0,3 0,6 0,8	2,0 2,4 1,8		– – –			30 Н1 20 Н1 80 Н2	2,0 3,0 2,0	1,0 1,0 0,5
// плоскости ; // плоскости ; // плоскости .
	0,6 0,8 0,6	1,5 1,8 1,6			– – –		20 Н1 25 Н1 30 Н2	3,0 3,0 4,0	1,0 1,5 2,0
// плоскости ; // плоскости ; // // ; .

 

Варианты 18, 21, 22

Прямоугольная фрамуга ABCD веса G удерживается под углом к горизонтальной (вар.18) и к вертикальной (вар.21, 22) плоскости посредством веревки, перекинутой через блок М, и натягивается грузом Q и силами реакций в точках A и B. Определить при равновесии вес груза Q и силы реакций шарниров в точках A и B, если к фрамуге приложена сила . Необходимые линейные размеры, углы, величины сил приведены в табл. 4.3.

 

Т а б л и ц а 4.3

Исходные данные к расчетной работе №4

№ схемы	Линейные размеры, м	Величины сил, Н	Углы,	Примечание
Н1	Н2	G	F
	0,2 1,2 1,4	0,5 0,6 0,6				– – –		параллельна плоскости
	1,4 1,2 1,2	0,6 0,5 0,5						параллельна плоскости
	1,5 1,4 1,2	0,8 0,6 0,5						лежит в плоскости

Варианты 25, 26, 27

Горизонтальный вал трансмиссии АВ, веса G, несущий два шкива С и D ременной передачи (плоскость шкивов параллельна пл. Ayz.), может вращаться в подшипниках А и В. Радиусы шкивов расстояния шкивов от подшипников a и b; расстояние между шкивами a+b (вар. 25) и a (вар. 26).

Вар. 25: натяжения ветвей ремня, надетого на шкив C, и ¾ вертикальны и имеют величины и , причем =2 ; натяжения ветвей , ремня, надетого на шкив D, горизонтальны и имеют величины и , причем кН.

Вар. 26: натяжения ветвей ремня, надетого на шкив C, ¾ вертикально, а ¾ образует с вертикалью угол , причем =2 ; натяжения ветвей ремня , , надетого на шкив D, образуют с горизонталью угол и имеют величины и , причем кН. Предполагая, что опоры (цилиндрические подшипники) А и В не оказывают осевого давления, и пренебрегая весами шкивов C и D, определить натяжения и в условиях равновесия и реакции подшипников C и D, вызванные натяжением ремней. Необходимые линейные размеры, углы, величины сил помещены в табл. 4.4.

Вар.27: Горизонтальный вал АВ, несущий два шестерни С и D, может вращаться в подшипниках А и В. Радиусы шестеренок расстояния шестеренки С от подшипника А - a, шестеренки D от подшипника B - c; расстояние между шестеренками - b. Плоскости шестеренок параллельныплоскости . К шестеренкам С и D приложены по направлению касательной ¾ тангенциальные (горизонтальные) усилия , соответственно, по направлению нормали ¾ радиальные (горизонтальные) усилия и , причем = 3 ,

=0.5 кН; = 1,5 . Предполагая, что в подшипниках А и В не возникают осевые усилия, и пренебрегая весами шестеренок и весом вала, определить

а) усилия и , приложенные к шестерне D в условиях равновесия, и реакции подшипников А и В.

б) радиальную и тангенциальную составляющие силы давления на шестерню С в точке E, считая, что кН. Необходимые линейные размеры, углы, величины сил помещены в табл. 4.4.

 

Т а б л и ц а 4.4

Исходные данные к расчетной работе №4

№ схемы	Линейные размеры, м	Величины сил, кН	Угол, °
а	b			G	T2	N2
	0.2 0.4 0.6	0.5 0.6 0.6	0.03 0.04 0.05	0.04 0.05 0.06		0.24 0.30 0.36	- - -	- - -	- - -
	0.8 1.0 1.2	0.6 0.5 0.5	0.03 0.04 0.05	0.03 0.04 0.05		0.50 0.60 1.00	- - -
	0.10 0.15 0.20	0.08 0.10 0.12	0.20 0.30 0.40	0.10 0.15 0.20	- - -	- - -	О.4 0.5 0.6	- - -	- - -

Пример 4.1 выполнения расчетной работы №4. Равновесие пространственной произвольной системы сил, приложенной к одному телу.

Дано: Однородная прямоугольная плита ABCD (рис.4.2) веса G закреплена в точке A сферическим, а в точке B - цилиндрическим шарниром и поддерживается в горизонтальном положении тросом CK, расположенным в вертикальной плоскости, проходящей через CD, образующим с вертикалью угол a. Размеры плиты указаны на схеме (рис.4.2).

Определить реакции шарниров и натяжение троса.

Р е ш е н и е. Освобождаем плиту от связей и рассматриваем ее равновесие под действием заданнойсилы веса G, реакций в шарнирах , и натяжения троса . Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом:

ABCD , , . Задача статически определима, т.к. число неизвестных (, , ; , , ) соответствует числу уравнений равновесия Рис. 4.2 для пространственной системы сил, приложенных к плите:

1. - sina = 0; = ;

2. - G + + + cosa = 0; = ;

3. + = 0; = - = - ;

4. G× - cosa × b = 0; = ;

5. - ×a - sina × b = 0; = ;

6. - G× + ×a + cosa × a = 0; = 0.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил, приложенных к телу, удобно представлять в виде таблицы:

 

№
			-				-
						- a	a
		ß	ß	ß	ß	ß	ß

 

Решая полученную систему уравнений, определяем искомые реакции. По заданным компонентам определяются реакции , . Направления реакций, имеющих по результатам расчета знак “ минус”, противоположны тем, которые указаны на схеме сил, но изменять ничего не надо.

Пример 4.2. Дано: Однородная прямоугольная плита ABCD (рис.4.3) веса G прикреплена к стене в точке A сферическим, а в точке B - цилиндрическим шарниром и удерживается в горизонтальном положении тросом DK, закрепленный в точке D плиты и к гвоздю K, вбитому в стену на одной вертикали с шар Рис. 4.3 ниром A и образующим с AD угол a. Размеры плиты и действующие нагрузки указаны на схеме (рис. 4.3).

Определить реакции шарниров и натяжение троса.

Р е ш е н и е. Освобождаем плиту от связей и рассматриваем ее равновесие под действием заданнойсилы веса G, сосредоточенной силы , реакций в шарнирах , и натяжения троса .

Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом:

ABCD , , , .

Задача статически определима, т.к. число неизвестных (, , ; , , ) соответствует числу уравнений равновесия для пространственной системы сил, приложенных к плите. Силу натяжения необходимо геометрически разложить на три составляющие: , , и вычислить (см. рис. 4.3)

= =

=

=

1. + = 0; = - + =1.45 кН;

2. + - = 0; = - + =

= 2.77 кН;

3. -G - + + + = 0; = G + - - =

= 0.67 -1.33 кН;

4. - G× + + a + sina ×а = 0; = =

= -1.33 кН;

5. G× + × b - sina × b = 0; = =6 кН;

6. × b - ×a + = 0; = = 1.15 кН.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил, приложенных к телу, удобно представлять в табличном виде:

			-		-
				-
					a		- a
		ß	ß	ß	ß	ß	ß

 

Решая полученную систему уравнений, определяем искомые реакции. По заданным компонентам определяются реакции , . Направления реакций, имеющих по результатам расчета знак “ минус”, противоположны тем, которые указаны на схеме сил, но изменять ничего не надо.

Пример 4.3 выполнения расчетной работы № 4. Равновесие пространственной произвольной системы сил, приложенной к одному телу (рис.4.4).

Дано: Вертикальный ворот закреплен в точке А подпятником, а в точке В – цилиндрическим шарниром и нагружен так, как это показано на рис. 4.4.

Определить при равновесии силы реакций закрепленных точек, а также натяжение S ₁ ведущей цепи 1, если S ₁= а × S ₂, где S ₂ – натяжение ведомой цепи 2. Заданы: AO ₁ = O ₁ O ₂ = (1/a) AB; AB =1.2 м; r = (b/a)R; R =

= 0.6 м; P =100 H; T ₁ =100 H; M = 10 a Hм; a = 4,

b = 2 - безразмерные коэффициенты; углы

a = 60°,b = 30°,q = 30°, образованные радиусами, проведенными в точке схода цепи (точке касания), с диаметром колеса, парал Рис.4.4 лельным оси Ay. Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом: AB

Решение примера 4.3 (рис.4.4) приведено в виде таблицы: