Равновесие тела, которое может опрокидываться

При выполнении расчетной работы №1 на опрокидывание рассматривается предельное положение, когда тело находится в состоянии неустойчивого равновесия и может перейти из состояния покоя в движение. Всякое даже незначительное изменение элементов конструкции или сил, действующих на тело, ведет к опрокидыванию (вращению) конструкции вокруг некоторой оси, называемой осью опрокидывания. Некоторые активные силы, приложенные к телу, образуют пары, которые стремятся опрокинуть тело. Сумма моментов таких сил относительно оси опрокидывания называется моментом опрокидывания; другая часть активных сил создает пары, которые стремятся возвратить тело в исходное положение. Сумма моментов этих сил относительно оси опрокидывания называется моментом устойчивости.

Определить: * вес противовеса , при котором не произойдет опрокидывание ненагруженного крана; * максимальный вес груза, который сможет поднять кран; * реакции в опорах крана при максимальной нагрузке.

Схемы конструкций механических кранов представлены на рис.3.1, а

исходные данные: веса кранов, положение центра тяжести C и линейные размеры - в табл 3.1.

Элементы конструкции принимаются абсолютно жесткими, стержневые детали - сплошными и невесомыми, трение в шарнирах и опорах отсутствует.

 

Пример 3.1 выполнения расчетной работы №1. Р авновесие плоской произвольной системы сил, приложенной к одному телу, которое может опрокидываться.

Дано: Механический кран (рис.3.2) веса установлен на горизонтальной поверхности. Расстояние между опорами , абсцисса центра тяжести крана , вылет стрелы крана относительно опоры ,

Рис. 3.1. Схемы конструкций механических кранов к расчетной работе № 1

 

Рис. 3.1 (продолжение)

Рис. 3.1 (окончание)
Т а б л и ц а 3.1

Исходные данные к расчетной работе №1

№ схе- мы	Линейные размеры, м	Координата центра тяжести, м	Угол, град	Вес крана, кН
a	b	l	xC		G
	0,8 1,0 1,2	2,2 2,5 3,0	1,6 2,0 2,4	0,64 0,80 0,96	– – –
	1,2 0,8 1,0	3,0 2,0 2,5	2,4 1,6 2,0	0,48 0,32 0,40	– – –
	0,6 0,4 1,4	1,5 1,0 3,5	1,2 0,8 2,8	0,12 0,08 0,28	– – –
	1,6 1,8 2,0	4,0 4,5 5,0	3,2 3,6 4,0	3,2 3,6 4,0	– – –
	1,4 0,6 0,4	3,5 1,5 1,0	1,2 0,8 0,6	0,42 0,18 0,12
	3,4 4,0 3,5	4,5 5,0 4,0	3,6 4,0 3,2	0,36 0,46 0,58
	0,7 0,9 1,1	1,75 2,25 2,75	1,4 1,8 2,2	0,14 0,30 0,45	– – –
	0,5 1,3 1,5	1,25 3,75 3,75	0,4 1,2 1,3	0,15 0,39 0,45	– – –

Продолжение табл. 3.1

№ схе- мы	Линейные размеры, м	Координата центра тяжести, м	Угол, град	Вес крана, кН
a	b	l	xC		G
	1,7 1,9 1,0	4,25 4,75 2,50	1,6 1,5 1,8	0,51 0,57 0,26	– – –
	1,1 1,9 0,9	0,85 1,22 0,68	0,5 0,6 0,4	0,32 0,25 0,45	– – –
	1,5 1,3 0,5	3,10 2,62 1,05	2,2 1,9 1,2	0,22 0,11 0,34	– – –
	1,2 1,9 1,7	3,10 4,75 4,25	2,44 3,80 3,40	0,24 0,38 0,34	– – –
	0,8 0,6 1,4	2,20 1,70 3,70	1,76 1,36 2,96	0,76 0,56 1,20	– – –
	1,4 0,8 0,6	3,72 2,25 1,76	2,96 1,76 1,36	0,30 0,18 0,14	– – –
	1,0 1,5 2,0	4,76 3,65 4,60	2,10 1,42 2,15	0,22 0,35 0,65	– – –

 

Окончание табл. 3.1

№ схе- мы	Линейные размеры, м	Координата центра тяжести, м	Угол, град	Вес крана, кН
a	b	l	xC		G
	0,8 1,0 1,2	2,2 2,5 3,0	1,6 2,0 2,4	0,64 0,80 0,96	– – –
	1,2 0,8 1,0	3,0 2,0 2,5	2,4 1,6 2,0	0,48 0,32 0,40	– – –
	0,6 0,4 1,4	1,5 1,0 3,5	1,2 0,8 2,8	0,12 0,08 0,28	– – –

 

расстояниеотносительно опоры K, на котором должен располагаться противовес для обеспечения максимальной грузоподъемности крана, равно .

Решение. Рассмотрим равновесие крана (рис.3.2). К нему приложены активные заданные силы: вес крана , вес груза и вес противовеса . На кран наложены две связи - катковые опоры K, L, которые не допускают смещения крана вниз от опорной поверхности по вертикали, но не препятствуют его повороту вокруг точек K, L. Так как трением в опорах пренебрегаем, то реакции опор будут направлены нормально к поверхности.

Теперь рассматриваем равновесие крана как свободного тела, находящегося под действием сил , .

Опрокидывание ненагруженного крана под действием противовеса возможно вокруг левой опоры K в направлении против часовой стрелки, при этом кран правой опорой L только касается поверхности, не оказывая на нее никакого давления. Поэтому вес противовеса находится из условия равенства моментов опрокидывания и устойчивости

, откуда = .

Максимально загруженный кран может опрокидываться вокруг правой опоры L по часовой стрелке. Поэтому уравнение моментов составим относительно точки L.

Из полученного уравнения находим наибольший вес поднимаемого груза

 

=27 кН.

 

Для определения реакций в опорах крана составим уравнения равновесия для полученной системы сил по третьей форме ¾ два уравнения моментов относительно опор K и L:

Из полученных уравнений находим искомые реакции

 

 

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №2