Дисперсия случайной дискретной величины

Для сравнения нескольких величин не всегда достаточно одного математического ожидания. Легко указать такие случайные величины, кото­рые имеют одинаковые математические ожидания, но возможные различные значения.

Рассмотрим случайные дискретные величины X и Y, заданные сле­дующими законами распределения;

X -0,01 0,01 Y -100 100

р 0,5 0,5 р 0,5 0,5 М(Х) = 0 для обеих величин одинаковое.

Несмотря на то математические ожидания этих величин одинаковые и равны, возможные значения этих величин различны. Причем величина X имеет воз­можные значения, близкие к математическому ожиданию, а величина У - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рас­сеяны вокруг математического ожидания. Другими сло­вами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

Для того чтобы оценить характер отклонения (рассеивания) зна­чений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводится числовой характе­ристикой - дисперсия.

Пусть X - случайная величина, М (X) - ее ма­тематическое ожидание.

Отклонением (центрированной случайной вели­чиной) называется величина, равная разности между случайной ве­личиной и ее математическим ожиданиям. X - М(Х).

Xi	x1	x2	…	xn
Pi	p1	p2	…	pn

Пусть закон распределения X известен и задан таблицей

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х_i - М (X), доста­точно, чтобы случайная величина приняла значение х_i Вероятность же этого события равна р_i', следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х_i - М (X), также равна р_i.

хi - М (X)	x1 - М(Х)	x2- М(Х)	…	xn- М(Х)
Pi	p1	p2	…	pn

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

 

Задание 5-9.

1. Задан закон распределения случайной дискретной вели­чины X. Вычислить математическое ожидание отклонения

Решение. Математическое ожидание М(Х)=1·0,2+2·0,8 =1,8

Отклонения равны: 1 - 1,8 = -0,8; 2-1,8 = 0,2.

Математическое ожидание отклонения: М [X - М(Х)] = -0,8·0,2+ 0,2-0,8 = 0.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю

Это следует из следующих рассуждений. Учитывая, что математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий и то, что математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), а также учитывая, что М (X) - постоянная величина, имеем:

М [X - М (X)] = М (X) - М [М (X)] = М (X) - М (X) = 0.

 

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их сред­нее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М [X - М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство уже было рассмотрено в предыдущем параграфе и объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного пога­шения среднее значение отклонения равно нулю. Эти со­ображения говорят о целесообразности заменить возмож­ные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами.

Дисперсия - среднее значение квадрата отклонения,

Дисперсией (рассеянием) случайной дискретной вели­чины называется математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величины от ее математического ожидания:

Для того чтобы найти дисперсию, до­статочно вначале вычислить все возможные произведения зна­чений квадрата отклонения, а затем эти произведения сложить.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия случайной дискретной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Вычисление, выполненное на основе определения дисперсии относительно громоздкие. Открыта формула, которая приводит к определению дисперсии значительно быстрее.

Теорема. Дисперсия ровна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(Х)= М(Х²)-(М(Х))²

Задание 5-10.

1. Вычислить дисперсию на основе определения дисперсии

Найти дисперсию случайной величины, которая задана законом распределения, представленным в таблице.

Решение.

Математическое ожидание М(Х)= 1-0,3 + 2-0,5 + 5-0,2 = 2,3.

Квадраты отклонений: (1 - 2,3)² = 1,69; (2 - 2,3)² = 0,09; (5- 2,3)² = 7,29.

Закон распределения квадрата отклонения:

Дисперсия D(Х)= I,69.0,3+0,09-0,5 + 7,29·0,2 = 2,01.

2. Вычислить дисперсию по формуле.

Найти дисперсию случайной величины X, которая задана законом распределения в виде таблицы.:

Решение.

М(Х) = 2- 0,1+3-0,6 + 5-0,3 = 3,5.

Х^2 4 9 25 р 0,1 0,6 0,3

Закон распределения случайной величины Х² зададим таблицей:

Математические ожидания М(Х²) = 4- 0,1 +9-0,6 + 25-0,3= 13,3.

Дисперсия равна D(X)=M (X^Z)-[M (X)]² = 13,3- (3,5)²= 1,05.

Замечание. Если величины X и Y имеют возможные одинаковые значения и одно и то же математическое ожидание, то их дисперсии не всегда равны, хотя ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий. Это связано с тем, что возможные одинаковые значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.

Выскажем утверждение. Е сли вероятности "далеких" от математического ожидания возможных значений X больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероят­ности "близких" значений X меньше, чем вероятности тех же значе­ний Y, то, очевидно, дисперсия X больше дисперсии Y.

 

Задание 5-11. И ллюстрирующий пример, выше приведенного утверждения

Сравните дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

X - 1 1 2 3 Y - I 1 2 3

р 0,48 0,01 0,09 0,42 р 0,19 0,51 0,25 0,05

Решение. М(Х)=М(Y)=0,97. D(X)= 3,69; D (Y)= 1,21.

Таким образом, возможные значения и математические ожидания X и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем D (X) > D (Y). Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (С)=0

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)-C² ·D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (У)

Следствия

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2. Дисперсия суммы постоянной вели­чины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:D (X - Y) = D (X) + D (У)

Задание 5-12..

X
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0.1

1. Вычислить дисперсии случайной величины, по ее закону распределения:

Решение. М(Х)=3,1; М(Х²)=10,9; D(X)=10,9-3,1²=1,29

2. Дисперсия случайной величины X равна 3.

Найти дисперсию величин: K= -5X и S= 4X+5.

Решение. D(K)= D(-5·X)=(-5)²·D(X)=25·3=75

D(S)= D(4X+5)= D(4X)+D(5)= 4²·D(X)+ D(5) =16·3 +0=48