Среднее квадратическое (квадратичное) отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений слу­чайной величины вокруг ее среднего значения кроме дис­персии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной ве­личины X называют квадратный корень из дисперсии:

В тех случаях, когда жела­тельно, чтобы оценка рассеяния имела размерность слу­чайной величины, вычисляют среднее квадратическое от­клонение, а не дисперсию. Так, если X выражается в линейных метрах, то будет выражаться также в линейных метрах, a D (X) - в квадратных метрах.

Задание 5-14..

1. Случайная величина X задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение

Решение. М(Х) = 2· 0, 1+3·0,4 + 10·0,5 = 6,4.

М(Х²) = 2²· 0,1 + 3²·0,4 + 10²·0,5 = 54.

D(Х) = M(X²) - [M(Х)]² = 54 - 6,4²= 13,04.

Среднее квадратическое отклонение =3,61.

2. Известны дисперсии двух независимых случайных вели­чин: D(X) = 4, D(K)=3. Найти дисперсию суммы этих величин. Ответ: 7.

3.. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин:

а) X- 1; б) - 2Х; в) ЗХ + б. Ответ: а) 5; б) 20; в) 45.

4. Случайная величина X принимает только два значения: С и - С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Ответ: С².

5. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распре­деления

X 0,1 2 10 20

р 0,4 0,2 0,15 0,25 Ответ: 67,6404.

6. Случайная величина X может принимать два возможных зна­чения: х₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7, причем х₂ > х₁. Найти х₁ и x₂ зная, что М(Х)=2,7 и D (X) =0,21.

Ответ: х₁₌ 2, х₂ = 3.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁ = 0,3; р₂ = 0,4; p₃ = 0,5; p₄ = 0,6. Найти математическое ожидание и дис­персию числа отказавших приборов. Ответ: 1,8; 0,94.

8. Найти дисперсию случайной величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом вероят­ность наступления события равна 0,7. Ответ: 21.

9. Дисперсия случайной величины D(X) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение а (X). Ответ: 2,5.

10. Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины. Ответ: 2,2.

11. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин. Ответ: 4.

12. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин. Ответ: 2,5.

 

Функция распределения ДСВ

Случайная дискретная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для случайных непрерывных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть x - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, т. е. вероятность события X < х, обозначим через F(x). Разу­меется, если х изменяется, то, изменяется и F(x)_. Итак, F (x) - функция от х.

Функцией распределения называют функцию F(х), опре­деляющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, или

F(х)=P(X<x)

С геометрической точки зрения F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина "функция распределения" используют термин "интегральная функция".

Теперь можно дать более точное определение случайной непрерывной величины.

Случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.