Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение полной группы событий. Полной группой случайных событий называется такая совокупность попарно несовместных случайных событий, т.е.  при которая, кроме того - полна, т.е. имеет место равенство (На языке вероятности, что эквивалентно: при ).

Полная группа событий (гипотез) должна иметь отношение к рассматриваемому испытанию, при котором возможно некоторое случайное событие , происходящее только одновременно с одним из событий .

Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

 

Задача 12. Три завода выпускают один вид продукции. Объемы выпуска заводов относятся как 2: 3: 5. Доля некачественной продукции для заводов составляет, соответственно, N, N+5, N+10 процентов (N-номер варианта). Продукция поступает на общий склад, с которого произвольно распределяется по торговым точкам. Найти вероятность, что купленная единица продукции окажется некачественной. Купленная единица продукции оказалась качественной, найти вероятность ее изготовления на том или ином заводе.

 

Пример решения задачи 12. Три завода выпускают один вид продукции. Объемы выпуска заводов относятся как 1: 2: 3. Доля некачественной продукции для заводов составляет, соответственно, 0,1; 0,4; 0,2 процентов. Продукция поступает на общий склад, с которого произвольно распределяется по торговым точкам. 1) Найти вероятность, что купленная единица продукции окажется некачественной.

2) Купленная единица продукции оказалась качественной, найти вероятность ее изготовления на том или ином заводе.

 

Решение: Определим случайные события:

купленная единица продукции окажется некачественной.

купленная единица продукции окажется некачественной.

Гипотезы , образуют полную группу событий, т.е. они должны удовлетворять двум требованиям (требование полноты и попарной несовместности):

,

купленная единица продукции изготовлена на заводе №1;

купленная единица продукции изготовлена на заводе №2;

купленная единица продукции изготовлена на заводе №3.

Здесь достоверное событие; - невозможное случайное событие

1) Применяя формулу полной вероятности, получаем

Заметим, что требование полноты на языке вероятности можно записать как

.

2) Поскольку для противоположных событий имеет место свойство

найдем вероятность покупки единицы качественной продукции

Найдем теперь, что эта единица качественной продукции куплена на заводе №1, №2, №3. Применяем для этого трижды формулу Байеса:

.

Здесь опять было использовано свойство для противоположных событий, но которое теперь записывалось в форме:

.

В качестве проверки 2) части примера можно сложить три последние условные вероятности, сумма должна равняться единице ввиду полноты полной группы событий.

Задача 13. Надежность работы (вероятность безотказной работы) каждого станка первой экспериментальной партии станков равна N/(N+5). Найти вероятность, что из десяти станков выйдут из строя: а) пять станков; б) не более трех станков; в) все станки; г) хотя бы один станок.

 

Пример решения задачи 13. Надежность работы (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна 0,2. Найти вероятность, что из пяти приборов выйдут из строя: а) два; б) не более трех; в) все; г) хотя бы один.

Решение: Решение проводим с помощью формулы Бернулли:

Интересующее нас случайное событие

в результате испытания прибор надежно работал.

a) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будут только два прибора (cобытие A наступит только два раза)

б) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будут не более трех приборов. Поскольку при этом , искомое событие (надежная работа не более трех приборов) представим суммой несовместных случайных событий

,

где

надежная работа приборов в количестве i штук. Тогда Искомая вероятность

в) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будет все приборы. Поскольку при этом , искомая вероятность

г) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будет хотя бы один прибор. Поскольку при этом , искомое событие (надежная работа хотя бы одного прибора) представим суммой несовместных случайных событий

,

Тогда искомая вероятность могла бы быть найдена аналогично случаю б) как

 

Однако мы поступим иначе и вычислим искомую вероятность не таким громоздким методам. Действительно, используя уже вычисленное значение в пункте а), имеет место равенство

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Определение дискретной случайной величины. Дискретной случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания дискретные значения , каждое из которых является случайным событием. Как следствие .

 

Задача 14*. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания. Вероятность попасть в корзину при каждом броске считать постоянной и равной N/(N+5). Найти закон распределения случайной величины числа бросков. Найти математическое ожидание числа бросков. (Воспользоваться методом интегрирования степенных рядов. См задачу 15 Задания Интегрирование).

Пример решения задачи 14*. Футболист бьет мяч по воротам до первого попадания. Вероятность забить гол при каждом ударе постоянна и равна 0,2. Найти закон распределения случайной величины – числа выполненных ударов. Найти математическое ожидание числа выполненных ударов.

Решение: Введем систему элементарных несовместных случайных событий:

футболист забивает мяч при k-ом ударе;

футболист не забивает мяч при k-ом ударе.

Тогда значения случайной величины , представляющие собой случайные события- возможное число ударов мяча (индекс соответствует числу выполненных ударов) можно выразить через элементарные события в виде

Вероятности этих значений случайной величины находим по формуле вероятности произведения несовместных случайных событий

.

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

				…			...
				…			...

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Здесь сумма ряда, стоящего в скобках обозначена как .

. (1)

Для нахождения суммы числового ряда (1) сначала вместо 0,8 поставим значение x, тогда получается степенной ряд (2):

(2)

при этом очевидно равенство

. (3)

Сравним ряд (2) с известным сходящимся рядом (4)

(4)

который представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем .

Проинтегрируем почленно ряд (2) по области его сходимости

и после интегрирования получаем

. (5)

Сравнивая полученный результат с формулой (4), получаем равенство

. (6)

Полученное равенство представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции , которую легко можно найти, продифференцировав равенство:

,

откуда получаем необходимое значение и значение в соответствии с (3):

.

Таким образом, искомое математическое ожидание случайной величины может быть найдено

.

И, следовательно, по смыслу математического ожидания, в среднем наш футболист для попадания в ворота должен сделать пять попыток.

Убедимся теперь, что найденный выше закон распределения случайной величины удовлетворяет основному своему свойству

. (7)

Действительно, имеем равенство

,

что и доказывает выполнимость указанного свойства. Здесь была использована формула (4) для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Задача 15. Группа из 30 студентов сдала экзамен. Для случайной величины X– полученной на экзамене оценки наудачу выбранным студентом, имеет место закон распределения (N- номер варианта)

 

Х	ОТЛ	ХОР	УДОВЛ.	НЕУД.
Р	N/(N+20)	0,1N/(N+20)	1 - 1,2N/(N+20)	0,1N/(N+20)

 

Найти, округляя, a) число студентов, получивших те или иные оценки; б) средний балл на экзамене; с) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

 

Пример решения задачи 15. В группе из 100 человек для случайной величины X–цвет волос наудачу выбранного человека, имеет место закон распределения

Х	Белый - 1	Желтый - 2	Коричневый - 3	Черный - 4
Р	0,3	0,2	0,4	0,1

Найти, округляя, a) число человек с тем или иным цветом волос; б)в среднем каков цвет волос у членов группы?; с) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

 

Решение: а) По смыслу вероятности, распределение людей по цвету волос представим таблицей

Х	Белый - 1	Желтый - 2	Коричневый - 3	Черный - 4
Р	30	20	40	10

 

б) В среднем цвет волос характеризуется математическим ожиданием случайной величины X:

.

Другими словами «средний» цвет волос – чуть темнее желтого.

с) Дисперсию найдем по упрощенной формуле, учитывая, что математическое ожидание случайной величины уже найдено

Найдем среднее значение квадрата случайной величины

Подставляя найденное значение в формулу для дисперсии, окончательно получаем

Определение непрерывной случайной величины. Непрерывной случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания свои значения из заданного интервала . Вероятность, что значения попадают в бесконечно малый интервал шириной в окрестности точки , определяется плотностью вероятности и имеет вид .

Вероятность же попасть в конечный интервал тогда можно представить как Функция называется плотностью распределения случайной величины.

Имеет место условие нормировки вероятности на единицу: . Границы интервала могут принимать и бесконечные значения.

Вероятность попасть в конечный интервал может быть найдена и с помощью функции распределения как где

 

Задача 16. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения где - номер варианта, найти:

a) нормировочную постоянную

b) функцию распределения

c) построить графики плотности и функции распределения

d) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

e) вероятность попадания случайной величины Х в интервал

 

 

Пример решения задачи 16. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения найти:

a) нормировочную постоянную

b) функцию распределения

c) Построить графики плотности и функции распределения;

d) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

e) вероятность попадания случайной величины Х в интервал -

 

Решение:

a) Для нахождения нормировочной постоянной A нужно воспользоваться условием нормировки вероятности на единицу, что соответствует площади по кривой , равной единице. Таким образом, имеем равенство

Таким образом нормировочная постоянная

При этом плотность распределения оказывается равной

.

b) По определению функцией распределения называется величина

,

и поскольку плотность распределения является кусочной функцией, состоящей из четырех участков , для каждого участка найдем значение функции распределения:

1)Так для первого участка функция распределения равна:

. (8)

2) Для второго участка функция распределения равна:

. (9)

3) Для третьего участка функция распределения равна:

. (10)

4) И, наконец, для четвертого участка функция распределения равна:

. (11)

С учетом выражений (8-11) функция распределения окончательно может быть записаны в виде кусочной функции

c) Построим графики плотности и функции распределения

f(x) График плотности распределения

0,5

-1 2 х

F(x) График функции распределения

1

0,5

-1 2 х

d) Найдем математическое ожидание случайной величины Х;

Для непрерывной случайной величины, какой и является величинв X,

математическое ожидание находим, используя ее определение:

Найдем дисперсию случайной величины Х. Несмотря на то, что случайная величина X является непрерывной величиной формула для дисперсии остается прежней:

Найдем среднее значение квадрата случайной величины, теперь с учетом непрерывности случайной величины, используем формулу

Теперь окончательно получаем значение дисперсии случайной величины

e) Находим вероятность попадания случайной величины Х в интервал Эта вероятнось равна площади под кривой плотности распределения на интервале Таким образом, находим

Задача 17. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей функцию распределения ,

где номер варианта, найти:

a) нормировочную постоянную ;

b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

с) плотность распределения ;

d) построить графики функций

e) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

 

 

Пример решения задачи 17. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей функцию распределения ,

найти:

a) нормировочную постоянную ;

b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал

c).плотность распределения ;

d) построить графики функций

е) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение:

a) Для нахождения нормировочной постоянной A воспользуемся свойством функции распределения

,

откуда необходимо положить

Таким образом, функция распределения приобретает окончательный вид

b) Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Используя свойство функции распределения можно непосредственно, без использования интегрирования, найти указанную вероятность. Действительно, отмеченное свойство представляет собой

Таким для искомой вероятности получаем значение:

c). Для нахождения плотности распределения воспользуемся свойством функции распределения , связывающим обе функции:

тогда, дифференцируя каждую ветвь функции распределения , получаем плотность распределения:

d) построим графики функций

График функции распределения

F(x)

1

0,5

х

f(x) График плотности распределения

х

 

e) Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х может быть найдена как и в предыдущем примере с помощью плотности распределения непрерывной случайной величины X

.

Интеграл может быть вычислен методом интегрирования по частям в соответствии с формулой

:

То, что математическое ожидание (среднее значение случайной величины) равно можно было ожидать исходя из рисунка плотности распределения .

Дисперсию X будем опять находить по формуле

Среднее значение квадрата случайной величины найдем отдельно:

.

Интеграл вычисляется двукратным интегрированием по частям:

Подставляя найденную величину, получаем окончательно значение дисперсии случайной величины X:

· Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина задается своим законом распределения

.

Каждая их компонент имеет свой закон распределения

,

.

со своими числовыми характеристиками -, -математическими ожиланиями, -дисперсиями, -среднеквадратическими отклонениями

;

.

Если компоненты независимы, то

.

Для зависимых компонент имеет место равенство

,

где условный закон распределения при условии можно представить как

, .

Аналогично для условного закона распределения при условии получаем

,

, .