Сборник типовых заданий по высшей математике

Д. Н. КАЧЕВСКИЙ

 

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

СБОРНИК ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

 

Учебное пособие для студентов вузов

Экономических и технических специальностей

Издание второе

 

Чебоксары «ДНК» 2008

К 30

УДК 517.3

Качевский Дмитрий Николаевич

К 30 Теория вероятностей. Сборник типовых заданий по высшей математике,- Чебоксары: ДНК, 2008, 36 с., ил.

Учебное пособие по высшей математике для студентов вузов экономических и технических специальностей. Содержит типовые контрольные задания по теории вероятностей для самостоятельной работы. Задания разбиты по вариантам и включают разделы: случайные события, случайные величины. Каждая задача снабжена примером решения. Для основных понятий дается краткая теоретическая справка. Пособие может быть использовано студентами всех форм обучения.

 

© Чебоксары, «ДНК», 2008.

 

 

Предисловие ко второму изданию

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов вузов технических и экономических специальностей всех форм обучения. Предлагаются типовые задания в 10 вариантах по теории вероятностей с примерами решения задач.

 

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Алгебра случайных событий

Определение случайного события. Случайное событие – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате испытания.

Определение противоположного случайного события. Противоположноеслучайное событие – это такое событие, которое заключается в том, что в результате испытания событие не происходит.

Определение невозможного случайного события. Невозможное случайное событие  – это такое событие, которое не может произойти в результате испытания.

Определение достоверного случайного события. Достоверное случайное событие – это такое событие, которое обязательно происходит в результате испытания.

Определение произведения случайных событий. Случайное событие , равное произведению двух случайных событий и - есть такое событие, которое заключается в том, что в результате испытания происходит и событие , и событие .

Определение суммы случайных событий. Случайное событие , равное сумме двух случайных событий и - есть такое событие, которое заключается в том, что происходит:

либо только событие ,

либо только событие ,

либо одновременно и событие , и событие

в результате некоторого испытания

Свойства случайных событий

1°

2°

3°

4° =,

5° ,

6°

7°

8°

9° =A,

10° , 

11°

Задача 0. Придумать оригинальную задачу с заданными случайными событиями, с помощью которых определить все неизвестные случайные события.

Примеры решения задача 0.

Пример 01. С самолета сбрасываются на наземную цель две бомбы. Цель считается разрушенной, если в нее попала хотя бы одна бомба. Для заданных случайных событий: - первая бомба попала в цель, - вторая бомба попала в цель, найти случайные события цель разрушена и цель не разрушена.

Решение примера 01. По условию задачи и с учетом определения суммы случайных событий имеем равенство Для определения воспользуемся свойством 7°:

Пример 02. Футболист трижды бьет по воротам. Для заданных случайных событий: -первый мяч попал в ворота, - второй первый мяч попал в ворота, - третий первый мяч попал в ворота, найти случайные события ни один мяч в ворота не попал, и в ворота попали только два мяча, в ворота попали только первый и третий мячи.

Решение примера 02. поскольку имеются три промаха. , поскольку при двух попаданиях возможны три несовместных события: только первый мяч прошел мимо ворот, только второй мяч прошел мимо ворот и только третий мяч прошел мимо ворот.

, случай соответствует только одной возможности – промаху только второго мяча.

 

Пример 03. Два игрока Антон и Борисподбрасывают игральную кость (шестигранный куб со значениями граней от 1 до 6). Для заданных случайных событий Антон получает очков, Борис получает очков, , найти случайное событие сумма полученных очков равна пяти.

Решение примера 03. С учетом имеющихся четырех вариантов получения суммы очков, равной пяти имеем искомое равенство .

 

0,5

-1 2 х

F(x) График функции распределения

1

0,5

-1 2 х

d) Найдем математическое ожидание случайной величины Х;

Для непрерывной случайной величины, какой и является величинв X,

математическое ожидание находим, используя ее определение:

Найдем дисперсию случайной величины Х. Несмотря на то, что случайная величина X является непрерывной величиной формула для дисперсии остается прежней:

Найдем среднее значение квадрата случайной величины, теперь с учетом непрерывности случайной величины, используем формулу

Теперь окончательно получаем значение дисперсии случайной величины

e) Находим вероятность попадания случайной величины Х в интервал Эта вероятнось равна площади под кривой плотности распределения на интервале Таким образом, находим

Задача 17. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей функцию распределения ,

где номер варианта, найти:

a) нормировочную постоянную ;

b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

с) плотность распределения ;

d) построить графики функций

e) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

 

 

Пример решения задачи 17. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей функцию распределения ,

найти:

a) нормировочную постоянную ;

b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал

c).плотность распределения ;

d) построить графики функций

е) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение:

a) Для нахождения нормировочной постоянной A воспользуемся свойством функции распределения

,

откуда необходимо положить

Таким образом, функция распределения приобретает окончательный вид

b) Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Используя свойство функции распределения можно непосредственно, без использования интегрирования, найти указанную вероятность. Действительно, отмеченное свойство представляет собой

Таким для искомой вероятности получаем значение:

c). Для нахождения плотности распределения воспользуемся свойством функции распределения , связывающим обе функции:

тогда, дифференцируя каждую ветвь функции распределения , получаем плотность распределения:

d) построим графики функций

График функции распределения

F(x)

1

0,5

х

f(x) График плотности распределения

х

 

e) Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х может быть найдена как и в предыдущем примере с помощью плотности распределения непрерывной случайной величины X

.

Интеграл может быть вычислен методом интегрирования по частям в соответствии с формулой

:

То, что математическое ожидание (среднее значение случайной величины) равно можно было ожидать исходя из рисунка плотности распределения .

Дисперсию X будем опять находить по формуле

Среднее значение квадрата случайной величины найдем отдельно:

.

Интеграл вычисляется двукратным интегрированием по частям:

Подставляя найденную величину, получаем окончательно значение дисперсии случайной величины X:

· Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина задается своим законом распределения

.

Каждая их компонент имеет свой закон распределения

,

.

со своими числовыми характеристиками -, -математическими ожиланиями, -дисперсиями, -среднеквадратическими отклонениями

;

.

Если компоненты независимы, то

.

Для зависимых компонент имеет место равенство

,

где условный закон распределения при условии можно представить как

, .

Аналогично для условного закона распределения при условии получаем

,

, .

Табл.1

X,	= -1	=0	=2
P(X),	0,15	0,60	0,25

Сразу найдем числовые характеристики компоненты Х:

Математическое ожидание X: .

Дисперсия Х: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Закон распределения компоненты Y получаем суммированием вероятностей двумерной случайной величины Z=(X, Y) по строкам:

Табл.2

Y,	P(Y),
=10	0,25
=20	0,55
=30	0,20

Убеждаемся, что сумма вероятностей равна единице, как и должно быть для дискретных законов распределения.

Найдем числовые характеристики компоненты Y:

Математическое ожидание Y: .

Дисперсия Y: .

Среднее квадратическое отклонение: .

b) Выясним, зависят ли друг от друга компоненты Х и Y. Предположим, что компоненты не зависят друг от друга, тогда вероятность значения двумерной случайной величины должна являться произведение соответствующих вероятностей компонент, т.е.

,

в этом случае закон распределения двумерной случайной величины

должен бы иметь вид (используем Табл. 1, и Табл.2)

 

Закон распределения

	= -1	=0	=2
=10
=20
=30

 

Сравнивая полученный закон распределения величины с заданным в условии примера законом распределения , убеждаемся в их различии, следовательно, наше предположение о независимости компонент X и Y не верно и компоненты X и Y являются зависимыми случайными величинами.

c) Найдем условные законы распределения компоненты Y при фиксированных значениях компоненты X:

Табл. 3

Y,		Значения взяты из первого столбца заданного закона распределения Z(X, Y), а сумма по столбцу
=10
=20
=30

Сразу найдем условное математическое ожидание Y при :

.

Табл. 4

Y,		Значения взяты из второго столбца заданного закона распределения Z(X, Y), а сумма по столбцу
=10
=20
=30

Найдем условное математическое ожидание Y при :

.

Табл. 5

Y,		Значения взяты из второго столбца заданного закона распределения Z(X, Y), а сумма по столбцу
=10
=20
=30

Найдем условное математическое ожидание Y при :

.

Тот факт, что таблицы 3, 4, 5 не совпадаю друг с другом еще раз свидетельствуют о зависимости случайных величин друг от друга.

d) Найдем регрессию Y на X. Для этого построим график зависимости среднего значения y при фиксированном значении x, т.е. график зависимости условного математического ожидания от :

График регрессии Y на Х

30

20

10

-1 0 1 2 x

e) Найдем коэффициент корреляции случайных величин Y и X:

Коэффициент корреляции определяется как

,

где корреляционный момент может быть найден по формуле

.

Найдем сначала среднее значение произведения компонент X и Y:

воспользовавшись матрицей вероятностей заданного закона распределения двумерной случайной величины Z(X, Y)). Тогда коэффициент корреляции будет равен

,

откуда для коэффициента корреляции получаем значение

.

Таким образом, между случайными величинами X и Y имеется достаточно тесная корреляционная связь. Как известно, теснота корреляционной связи определяется тем, насколько коэффициент корреляции отличается по модулю от единицы. Сам же коэффициент корреляции обладает свойством

.

Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем тесней корреляционная связь компонент X и Y.

 

Задача 19. Для двумерной случайной величины Z(X, Y) Задачи 18 найти уравнение линейной регрессии Y на Х. График этой регрессии построить в тех же осях и на том же рисунке, что и график самой регрессии Y на Х, построенный в Задаче 18. Сравнить эти графики.

 

 

Пример решения задачи 19. Для двумерной случайной величины Z(X, Y) Примера решения задачи 18 найти уравнение линейной регрессии Y на Х. График этой регрессии построить в тех же осях, что и график самой регрессии Y на Х, построенный в Задаче 18. Сравнить эти графики.

 

Решение: График линейной регрессии Y на X представляет собой тенденцию изменения среднего значения величины Y при фиксированном значении X от этого значения X. Более детальная информацию об этой зависимости при этом теряется. Уравнение линейной регрессии Y на X, которую будем обозначать , имеет вид:

,

и представляет собой канонический вид уравнения прямой на плоскости , здесь математические ожидания компонент X и Y, соответственно;

их средние квадратические отклонения;

коэффициент корреляции компонент.

При решении Примера18 все эти параметры были найдены:

; ; .

Подставляя их в уравнение линейной регрессии, запишем его в форме

,

 

из которой следует, что прямая, проходя через точку A(0,35; 19,5), имеет направляющий вектор

График регрессии Y на Х (см. предыдущий Пример) и график линейной регрессии Y на Х практически совпадают

30

20

A

10

-1 0 1 2 x

То, что регрессия являлась практически прямой и привело к тому, что и линейная регрессия , которая является по определению прямой, совпадают.

Задача 20. Найти закон распределения случайной величины и ее числовые характеристики, если случайных величин X и Y, являются компонентами двумерной случайной величины Z(X, Y) Задачи 18. Числовые характеристики найти двумя методами: с помощью свойств числовых характеристик и по определению.

 

Пример решения задачи 20 Найти закон распределения случайной величины и ее числовые характеристики, если случайных величин X и Y, являются компонентами двумерной случайной величины Z(X, Y) Примере 18. Числовые характеристики найти двумя методами: с помощью свойств числовых характеристик и по определению.

Решение: Числовые характеристики компонент X и Y были найдены в примере 18 и записывались в виде:

.

Математическое ожидание случайной величины V найдем, воспользовавшись свойствами математического ожидания:

.

Дисперсию случайной величины V также найдем, воспользовавшись свойствами дисперсии

и свойством корреляционного момента постоянные)

.

Дисперсия случайной величины V принимает значение:

,

или в более простой форме:

.

Для построения закона распределения случайной величины V=5X+Y учтем, что компоненты X, Y являются зависимыми случайными величинами и появления любой пары их значений, дающих в результате значение величины V, может происходить с вероятность , которая задается матрицей вероятности

двумерной случайной величины Z=(X,Y)Примера 18:

Z=(X,Y)	= -1	=0	=2
=10	0,1	0,1	0,05
=20	0,05	0,5
=30			0,2

Закон распределения случайной величины W=5X+Yимеет вид:

W	5	10	15	20	25	30	40
P(W)	0,1	0,1	0,05	0,55	0	0	0,2

Поясним на примере. Так значение может быть реализовано в испытании, только когда значение X=-1, а значение Y=10, вероятность их совместного появления соответствует вероятности P=0,1.

Поскольку значения W=25 и W=30 реализуются в испытаниях с вероятностью P=0, т.е. фактически не реализуются (невозможные события). Их можно исключить из закона распределения.

Закон распределения случайной величины V=5X+Y, таким образом,имеет вид:

W	5	10	15	20	40
P(w)	0,1	0,1	0,05	0,55	0,2

Найдем числовые характеристики случайной величины W, используя их определение и полученный закон распределения.

Математическое ожидание V:

.

Дисперсия W:

.

Как видим, оба способа вычисления числовых характеристик случайной величины V дают один и тот же результат.

Задача 21. Из 20-50 знакомых сверстников (ровесников, соучеников и прочих формальных или неформальных объединений, групп), образующих некоторую выборку, построить вариационный ряд для какого-либо параметра , характеризующего то или иное свойство рассматриваемого сообщества (вес, рост, свойства характера и т.д.). Считая, что этот параметр имеет нормальное распределение, оценить математическое ожидание соответствующей генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала и дисперсию этого распределения с надежность 0,95. Оценить вероятность, что наудачу