Вероятность случайных событий

Определение вероятности случайного события :

 ,

где общее число всех равновозможных исходов испытания,

благоприятное для события число равновозможных исходов испытания.

 

Задача 1. В урне находятся N шаров одинакового размера, причем m шаров белого цвета, остальные красные. Наудачу вытягивается n шаров. Найти вероятность, что среди вытянутых шаров будет k белых.

 

№ варианта	N	n	m	k

 

 

Пример решения задачи 1. В корзине три яблока и две груши. Найти вероятность, что из трех, вытянутых наудачу плодов, вытянутых яблок будет только два.

Решение: Поскольку из пяти плодов вытягивается три плода, то этими плодами будут: два яблока и одна груша. Следовательно, вероятностью этого события будет величина

Здесь использовалось определение числа сочетаний из n по k:

.

Задача 2. В урну предыдущей задачи добавили еще 7 синих шаров. Найти вероятность, что среди вытянутых 12 шаров, будут 3 белых, 4 красных и 5 синих шаров.

 

Пример решения задачи 2. В корзину предыдущего примера добавили еще 5 лимонов. Найти вероятность, что из семи, вытянутых наудачу плодов будут вытянуты: две груши, одно яблоко и четыре лимона.

Решение: Поскольку из десяти плодов вытягивается семь плодов, то общим числом исходов испытания будет . Благоприятным для искомого события числом испытаний будет произведение , поскольку из двух груш вытягиваются две, из трех яблок вытягивается одно, а из пяти лимонов вытягиваться должно четыре. Таким образом, искомая вероятность интересующего нас события может быть найдена из определения вероятности как

поскольку

.

Задача 3. Найти вероятность максимального выигрыша в спортлото N из 36, называя N номеров. (Из 36 видов спорта нужно угадать все N выигрышных).

Здесь и в дальнейшем N-номер варианта

Если номер варианта больше 10 (больше 20 и т.д.), то номер задачи соответствует номеру варианта минус 10 (или минус 20 для больших номеров и т.д.).

Пример решения задачи 3. Найти вероятность максимального выигрыша в детском спортлото «тли из четылех».

Решение: Для максимального выигрыша ребенок должен угадать три правильных цифры из четырех возможных. Общее число всех возможностей выбрать три цифры из четырех, очевидно, есть число сочетаний из четырех по три . А благоприятных искомому событию возможных сочетаний правильных цифр только одно (это выбор самих правильных цифр), то в соответствии с определением вероятности случайного события, окончательно получаем

Задача 4. Найти вероятность минимального выигрыша в спортлото N (N>3, если N 3, то заменить N N+3) из 36, называя N номеров, т.е. угадать только три выигрышных вида спорта (если N>3, если же N 3, то угадать только 2 выигрышных вида спорта).

 

Пример решения задачи 4. Найти вероятность минимального выигрыша в детском спортлото «тли из четылех», т.е. угадать только две правильные цифры.

Решение: Для минимального выигрыша ребенок должен угадать только две правильных цифры из четырех возможных, выбирая три цифры. Общее число всех возможностей выбрать три цифры из четырех по-прежнему остается число сочетаний из четырех по три . А благоприятных искомому событию возможных сочетаний правильных цифр будет выбор двух правильных цифр из общего числа трех правильных (выигрышных) цифр и одной неправильной цифры из одной же неправильной, то в соответствии с определением вероятности случайного события, окончательно получаем

 

Задача 5. Найти вероятность, вытягивая 4 карты из колоды 36 карт, вытянуть два валета, даму и короля. Ту же вероятность найти, вытягивая те же 4 карты из N колод.

 

Пример решения задачи 5. Найти вероятность, вытягивая 3 карты из колоды 52 карт, вытянуть тройку, семерку и туза. Ту же вероятность найти, вытягивая те же 3 карты из 5 колод.

Решение: Аналогично предыдущему примеру, вытянуть три карты из 52-х можно числом способов (общее число всех равновозможных исходов испытания ). Благоприятные исходы испытания заключаются в вытягивании одной тройки из четырех (по количеству мастей), одной семерки их четырех и одного туза из четырех. Таким образом, в соответствии с определением вероятности случайного события, окончательно имеем

поскольку

В случае пяти колод аналогично получаем

поскольку

.