Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации (например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации). Какие же существуют правила – рекомендации по принятию решений в этой ситуации? Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая i -е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход: a i=min q ij. Но теперь выберем решение a 0 с наибольшим a i0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i 0 такое, что a i0=max a i=max(min q ij).Так, в примере 2 имеем a 1=2, a 2=2, a 3=3, a 4 = 1. Теперь из чисел 2, 2, 3, 1 находим максимальное — 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение. Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков R =(r ij). Рассматривая i -е решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска b i=max r ij. Но теперь выберем решение i 0 с наименьшим b i0. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i 0 такое, что b i0=min b i=min(max r ij).Так, в примере 2 имеем b 1=8, b 2=6, b 3=5, b 4=7. Теперь из чисел 8, 6,5, 7 находим минимальное – 5. Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i, котором достигается максимум { λ min q ij+(1 – λ max q ij)}, где 0≤ λ ≤1. Значение λ выбирается из субъективных соображений. Если λ приближается к 1,то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении λ к 0 правило Гурвица приближается к правилу «розового оптимизма» (догадайтесь сами, что это значит). В примере 2 при λ=1/2 правило Гурвица рекомендует второе решение.

 

 

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности р j того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации i -го решения, является случайной величиной Q i с рядом распределения Математическое ожидание М [ Q i] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Q i. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход. Предположим, что в схеме примера 2 вероятности есть – 1/2, 1/6, 1/6, 1/6. Тогда Q 1=29/6, Q 2=25/6, Q 3=7, Q 4=17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению. Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации i -го решения является случайной величиной R i с рядом распределения Математическое ожидание M [ R i] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также R i. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем R 1=20/6, R 2=4, R 3=7/6, R 4=32/6. Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению. Замечание. Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от полной неопределенности очень существенно. Конечно, принятие решений по правилам Вальда, Сэвиджа, Гурвица никто не считает окончательными, самыми лучшими. Это только лишь первый шаг, некоторые предварительные соображения. Далее пытаются узнать что-то о вариантах реальной ситуации, в первую очередь о возможности того или иного варианта, о его вероятности. Но когда мы начинаем оценивать вероятность варианта, это уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: это уже было в прошлом, или это будет в будущем, или это повторяется где-то в пространстве, например, в филиалах фирмы.

Оптимальность по Парето

Итак, при попытке выбрать наилучшее решение мы столкнулись в предыдущем параграфе с тем, что каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Теперь имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения. Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А - некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е (а), r (а) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше. Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а>b, если Е (а)≥ Е (b) и r (а)≤ r (b) и хотя бы одно из этих неравенств, строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b - доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей, операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето. Имеет место чрезвычайно важное утверждение. Утверждение. На множестве Парето каждая из характеристик Е, r - (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую. Доказательство. Пусть а,b - две операции из множества Парето, тогда r (а) и r (b) – числа. Предположим, что r (а)≤ r (b), тогда Е (а) не может быть равно Е (b), так как обе точки а,b принадлежат множеству Парето. Доказано, что по характеристике r можно определить характеристику E. Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить характеристику r. Продолжим анализ приведенного в § 10.2 примера. Рассмотрим графическую иллюстрацию. Каждую операцию (решение) (R, Q) отметим как точку на плоскости – доход откладываем вверх по вертикали, а риск – вправо по горизонтали (рис. 10.1). Получили четыре точки и продолжаем анализ примера 2. Чем выше точка (R, Q), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В нашем случае множество Парето состоит только из одной третьей операции.   Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с характеристиками (R, Q) даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f (Q)=2 Q–R. Тогда для операций (решений) примера 2 имеем: f (Q 1)=2*29/6 – 20/6=6,33; f (Q 2)=4,33; f (Q 3)=12,83; f (Q 4)=0,33. Видно, что третья операция – лучшая, а четвертая – худшая. Взвешивающая формула выражает отношение ЛПР к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции увеличивается при этом не менее чем на одну единицу. Разумеется, такая формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.