Определение и сущность риска

Случайные потоки платежей.

Таки потоки могут быть весьма разнообразны:

1. Полностью детерминированный поток – моменты платежей и величины платежей полностью определены.

2. Частично-детерминированный поток.

 

Пример 1.

По договору в течении 5 лет, в конце каждого квартала издательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000-1400 евро. Как найти современную величину этой ренты?

Решение:

Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их математических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как переводимая сумма равномерно распределена, то её математическое ожидание – середина промежутка распределения, то есть 1200 евро.

Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов равна = 3, тогда искомая современная величина = 1200 * а (20,3)=1200 * 14,877=17852 евро

Определение и сущность риска

Напомним, что финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода – разности между конечной и начальной оценками (или какого-нибудь другого подобного показателя). Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны: при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию). Проводящий операцию (принимающий решение) называется ЛПР – Лицо, Принимающее Решение. Естественно, ЛПР заинтересовано в успехе операции и является за нее ответственным (иногда только перед самим собой). Во многих случаях ЛПР – это инвестор, вкладывающий деньги в банк, в какую – то финансовую операцию, покупающий ценные бумаги и т.п. Определение. Операция называется рискованной, если она может иметь несколько исходов, не равноценных для ЛПР. Пример 1. Рассмотрим три операции с одним и тем же множеством двух исходов – альтернатив A, В, которые характеризуют доходы, получаемые ЛПР. Все три операции рискованные. Понятно, что рискованными являются первая и вторая операции, так как в результате каждой операции возможны убытки.   Но почему должна быть признана рискованной третья операция? Ведь она сулит только положительные доходы ЛПР? А вот почему. Рассматривая возможные исходы третьей операции, видим, что можем получить доход в размере 20 единиц, поэтому возможность получения дохода в 15 единиц рассматривается как неудача, как риск недобрать 5 единиц дохода. Итак, понятие риска обязательно предполагает рискующего – того, к кому этот риск относится, кто озабочен результатом операции. Сам риск возникает, только если операция может окончиться исходами, не равноценными для него, несмотря на, возможно, все его усилия по управлению этой операцией. (О системе предпочтений индивида см. § 7.1.) В последующем изложении всюду будем считать, что исходы операций отличаются доходами, получаемыми ЛПР, и этого достаточно для их различения и оценки риска операции. (И только в дополнении к ч. 2 в § 19.5 системе предпочтений индивида, его функции полезности и отношению его к риску будет уделено много внимания.) Итак, в условиях неопределенности операция приобретает еще одну характеристику – риск. Как оценить операцию, с точки зрения ее доходности и риска? На этот вопрос на так просто ответить, главным образом из-за многогранности понятия риска. Существует несколько разных способов такой оценки. Рассмотрим один из таких подходов

Оптимальность по Парето

Итак, при попытке выбрать наилучшее решение мы столкнулись в предыдущем параграфе с тем, что каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Теперь имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения. Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А - некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е (а), r (а) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше. Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а>b, если Е (а)≥ Е (b) и r (а)≤ r (b) и хотя бы одно из этих неравенств, строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b - доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей, операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето. Имеет место чрезвычайно важное утверждение. Утверждение. На множестве Парето каждая из характеристик Е, r - (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую. Доказательство. Пусть а,b - две операции из множества Парето, тогда r (а) и r (b) – числа. Предположим, что r (а)≤ r (b), тогда Е (а) не может быть равно Е (b), так как обе точки а,b принадлежат множеству Парето. Доказано, что по характеристике r можно определить характеристику E. Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить характеристику r. Продолжим анализ приведенного в § 10.2 примера. Рассмотрим графическую иллюстрацию. Каждую операцию (решение) (R, Q) отметим как точку на плоскости – доход откладываем вверх по вертикали, а риск – вправо по горизонтали (рис. 10.1). Получили четыре точки и продолжаем анализ примера 2. Чем выше точка (R, Q), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В нашем случае множество Парето состоит только из одной третьей операции.   Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с характеристиками (R, Q) даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f (Q)=2 Q–R. Тогда для операций (решений) примера 2 имеем: f (Q 1)=2*29/6 – 20/6=6,33; f (Q 2)=4,33; f (Q 3)=12,83; f (Q 4)=0,33. Видно, что третья операция – лучшая, а четвертая – худшая. Взвешивающая формула выражает отношение ЛПР к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции увеличивается при этом не менее чем на одну единицу. Разумеется, такая формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.

ОПЕРАЦИЙ

Финансовая операция называется вероятностной, если существует вероятность каждого ее исхода. Прибыль такой операции – разность конечной и начальной денежных ее оценок – является случайной величиной. Для такой операции удается ввести количественную оценку риска, согласующуюся с нашей интуицией.

 

Количественная оценка риска

В предыдущей главе дано определение рискованной операции, как имеющей, по крайней мере, два исхода, не равноценных в системе предпочтений ЛПР. В контексте данной главы вместо ЛПР можно, употреблять также термин «инвестор» или какой-либо подобный, отражающий заинтересованность проводящего операцию (возможно, пассивно) в ее успехе.

При исследовании риска операции встречаемся с фундаментальным утверждением.

Утверждение.

Количественная оценка риска операции возможна только при вероятностной характеристике множества исходов операции.

Пример 1.

Рассмотрим две вероятностные операции:

Q1:	-5		Q2:
0,01	0,99	0,5	0,5

 

Несомненно, риск первой операции меньше риска второй операции. Что же касается того, какую операцию выберет ЛПР, это зависит от его склонности к риску (подобные вопросы подробно рассмотрены в дополнении к ч. 2).

 

Риск отдельной операции

Так как мы хотим количественно оценить рискованность операции, а это невозможно сделать без вероятностной характеристики операции, то ее исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно назвать случайным доходом операции, или просто случайным доходом. Пока ограничимся дискретной случайной величиной (д.с.в.):

 

где q j - доход, а р j – вероятность этого дохода.

Операцию и представляющую ее случайную величину – случайный доход будем отождествлять при необходимости, выбирая из этих двух терминов болееудобный в конкретной ситуации.

Теперь можно применить аппарат теории вероятностей и найти следующие характеристики операции.

Средний ожидаемый доход – математическое ожидание с.в. Q, т.е. М [ Q ]= q 1 p 1+…+ q n p n, обозначается еще m Q, Q, употребляется также название эффективность операции.

Дисперсия операции - дисперсия с.в. Q, т.е. D [ Q ]= М [(Q - m Q)2], обозначается также D Q.

Среднее квадратическое отклонение с.в. Q, т.е. [ Q ]=√(D [ E ]), обозначается

также σ Q.

Отметим, что средний ожидаемый доход, или эффективность операции, как и среднее квадратическое отклонение, измеряется в тех же единицах, что и доход.

Напомним фундаментальный смысл математического ожидания с.в.

Среднее арифметическое значений, принятых с.в. в длинной серии опытов, примерно равно ее математическому ожиданию. Все более признанным становится оценка рискованности всей операции посредством среднего квадратического отклонения случайной величины дохода Q, т.е. посредством σ Q. В данной книге это основная количественная оценка.

Итак, риском операции называется число σ Q – среднее квадратическое отклонение случайного дохода операции Q. Обозначается также r Q.

Пример 2.

Найдем риски первой и второй операций из примера 1:

Q1:	-5		Q2:
0,01	0,99	0,5	0,5

 

Сначала вычисляем математическое ожидание с.в. Q 1:

т 1= – 5*0,01+25*0,99=24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле D 1 =M [ Q 12]- m 12. Имеем М [ Q 12] = 25*0,01+625*0,99=619. Значит, D 1=619 – (24,7)2=8,91 и окончательно r 1=2,98.

 

Аналогичные вычисления для второй операции дают m 2=20; r 2=5. Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная.

Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции – ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности.

 

Другие измерители риска.

По нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 1 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки риска в этой схеме. Полезно познакомиться: с другими измерителями риска. В большинстве случаев эти измерители – просто вероятности нежелательных событий.

 

 

Риск разорения

Так называется вероятность столь больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

Пример 3.

Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения, и потери 35 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, риск разорения в результате данной операции равен 0,8;

Q:	-50	-40	-35
0,1	0,2	0,5	0,2

 

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают.

 

Кредитный риск

Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

Пример 4.

Статистика запросов кредитов такова: 10% – государственные органы, 30% – другие банки и остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятогокредита соответственно таковы: 0,01; 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозвратаочередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, чтополучено сообщение о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиентабыло плохо пропечатано. Какова вероятность, что данный кредит не возвращаеткакой – то банк?

Решение. Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть Н 1 - запрос поступил от госоргана, Н 2 – от банка, Н 3 – от физического лица и А - невозврат рассматриваемого кредита. Тогда

Р (А) =Р (Н 1) Р H1 А+Р (Н 2) Р H2 А+Р (Н з) P H3 А= 0,1*0,01+0,3*0,05+0,6*0,2=0,136.

Вторую вероятность найдем по формуле Байеса. Имеем

Р A Н 2= Р (Н 2) Р H2 А/Р (А) = 0,015/0,136=15/136≈1/9.

Как в реальности определяют все приведенные в этом примере данные, например, условные вероятности Р H1 А? По частоте невозврата кредита для соответствующей группы клиентов. Пусть физические лица взяли всего 1000 кредитов и 200 не вернули. Значит, соответствующая вероятность Р H3 А оценивается как 0,2. Соответствующие данные – 1000 и 200 берутся из информационной базы данных банка.

 

 

Диверсификация

Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следующее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации.

Утверждение 1.

Пусть О 1,..., О n – некоррелированные операции с эффективностями е 1 ,..., е nи рисками r 1 ,...,r 2. Тогда операция «среднее арифметическое» О =(О 1 +...+O n) / п имеет эффективность е =(e 1+...+ e n)/ n и риск r =√(r 12+… r 2n)/ n.

Доказательство этого утверждения – простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии.

Следствие 1.

Пусть операции некоррелированы и а≤ e iи b ≤r i≤ c с для всех i =1,.., n. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству b √n≤r ≤ c √n и, таким образом, при увеличении n уменьшается. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей этих операций, а риск однозначно уменьшается.

Этот вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия) и представляет собой в сущности единственно разумное правило работы на финансовом и других рынках. Этот же эффект воплощен в народной мудрости – «не клади все яйца в одну корзину». Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно уменьшится.

При применении этого правила нужно быть осторожным. Так, нельзя отказаться от некоррелированности операций.

Предложение 2.

Предположим, что среди операций есть ведущая, с которой все остальные находятся в положительной корреляционной связи. Тогда риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа суммируемых операций.

Действительно, для простоты примем более сильное предположение, именно, что все операции О i; i =1,..., n, просто копируют операцию O 1в каких – то масштабах, т.е. O i= k i O 1и все коэффициенты пропорциональности k iположительны. Тогда операция «среднее арифметическое» О =(O 1+...+ O n)/ n есть просто операция O 1в масштабе

и риск этой операции

Поэтому, если операции примерно одинаковы по масштабности, т.е. k i≈1, то и

 

Мы видим, что риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа операций.

 

Хеджирование

В эффекте диверсификации ЛПР составлял новую операцию из нескольких, имеющихся в его распоряжении. При хеджировании (от англ. hedge - изгородь) ЛПР подбирает или даже специально конструирует новые операции, чтобы, проводя их совместно с основной, уменьшить риск.

Пример 1.

По контракту российская фирма через полгода должна получить крупный платеж от украинской компании. Платеж равен 100 000 гривен (примерно 600 тыс. руб.) и будет произведен, именно в гривнах. У российской фирмы, есть опасения, что за эти полгода курс гривны упадет по отношению к российскому рублю. Фирма хочет подстраховаться от такого падения и заключает форвардный контракт с одним из украинских банков на продажу тому 100 000 гривен по курсу 6 руб. за гривну. Таким образом, что бы ни произошло за это время с курсом рубль – гривна, российская фирма не понесет из – за этого убытков.

В этом и заключается суть хеджирования. При диверсификации наибольшую ценность представляли независимые (или некоррелированные) операции. При хеджировании подбираются операции, жестко связанные с основной, но, так сказать, другого знака, говоря более точно, отрицательно коррелированные с основной операцией.

Действительно, пусть O 1 – основная операция, ее риск r 1, O 2 – некоторая дополнительная операция, ее риск r 2, О - операция – сумма, тогда дисперсия этой операции D = r 12+2 k 12 r 1 r 2+ r 22, где k - коэффициент корреляции эффективностей основной и дополнительной операций. Эта дисперсия может быть меньше дисперсии основной операции, только если этот коэффициент корреляции отрицателен (точнее: должно быть 2 k 12 r 1 r 2+ r 22<0, т.е. k 12< –r 2/(2 r 1)).

Пример 2.

Пусть ЛПР решает проводить операцию O 1.

Q1:

-10

S:

-5

0,5

0,5

0,5

0,5

O1:	-10
S:		-5
O	-5
	0,5	0,5

 

 

Ему советуют провести одновременно операцию S, жестко связанную с О. В сущности обе операции надо изобразить с одним и тем же множеством исходов.

Обозначим суммарную операцию через О, эта операция есть сумма операций O 1и S. Вычислим характеристики операций:

M [ O 1]=5, D [ O 1]=225, r 1=15;

M [ S ]=0, D [ S ]=25;

M [ O ]=5, D [ O ]=100, r =10.

Средняя ожидаемая эффективность операции осталась неизменной, а риск уменьшился из-за сильной отрицательной коррелированности дополнительной операции S по отношению к основной операции.

Конечно, на практике не так легко подобрать дополнительную операцию, отрицательно коррелированную с основной, да еще с нулевой эффективностью. Обычно допускается небольшая отрицательная эффективность дополнительной операции и из-за этого эффективность суммарной операции становится меньше, чем у основной. Насколько допускается уменьшение эффективности на единицу уменьшения риска зависит от отношения ЛПР к риску.

 

Страхование

Можно рассматривать страхование как один из видов хеджирования. Поясним некоторые термины.

Страхователь (или застрахованный) – тот, кто страхуется.

Страховщик - тот, кто страхует.

Страховая сумма - сумма денежных средств, на которую застраховано имущество, жизнь, здоровье страхователя. Эта сумма выплачивается страховщиком страхователю при наступлении страхового случая. Выплата страховой суммы называется страховым возмещением.

Страховой платеж выплачивается страхователем страховщику.

Обозначим страховую сумму ω, страховой платеж s, вероятность страхового случая р. Предположим, что застрахованное имущество оценивается в z. По правилам страхования ω≤ z.

Таким образом, можно предложить следующую схему:

Операции	1-p	p	Вероятности
Страхования нет		-z
Операция страхования	-s	w-s
Итоговая операция (страхование есть)	-s	w-s-z

 

Найдем характеристики операции без страхования и итоговой операций. Из теории страхования известно, что при нулевой рентабельности страховщика можно считать, что s = p ω. Получаем

 

	Характеристики операций:
Страхования нет	M1=-pz, D1=p(1-p)z2, r1=z√p(1-p)
Операция страхования	M=-s(1-p)+p(w-s-z)=p(w-z)-s=-pz
Итоговая операция	D=s2(1-p)+(w-s-z)2p-(pz)2

 

Предположим далее, что ω =z, т.е. страховое возмещение равно оценке застрахованного имущества, тогда D =0.

Таким образом, страхование представляется выгоднейшим мероприятием с точки зрения уменьшения риска, если бы не страховой платеж. Иногда страховой платеж составляет заметную часть страховой суммы и представляет собой солидную сумму.

 

Практическая часть

 

 

Предположим, ЛПР имеет возможность составить операцию из четырех некоррелированных операций, эффективности и риски которых даны в таблице.

 

 

i
ei
ri

 

Рассмотрим несколько вариантов составления операций из этих операций с равными весами.

1. Операция составлена только из 1-й и 2-й операций. Тогда e 12=(3+5)/2=4;

r 12 = √(22+42)/2≈2,24

2. Операция составлена только из 1-й, 2-й и 3-й операций.

Тогда e 123=(3+5+8)/3=5,3; r 123=√(22+42+62)/3≈2,49.

3. Операция составлена из всех четырех операций. Тогда

e 1 – 4=(3+5+8+10)/4=6,5; r 1 – 4=√(22+42+62+122)/4≈ 3,54.

Видно, что при составлении операции из всё большего числа операций риск растёт весьма незначительно, оставаясь близко к нижней границе рисков составляющих операций, а эффективность каждый раз равна среднему арифметическому составляющих эффективностей.

Принцип диверсификации применяется не только для усреднения операций, проводимых одновременно, но в разных местах (усреднение в пространстве), но и проводимых последовательно во времени, например, при повторении одной операции во времени (усреднение во времени). Например, вполне разумной является стратегия покупки акций какой-нибудь стабильно работающей компании 20-го января каждого года. Неизбежные колебания курса акций этой компании благодаря этой процедуре усредняются и в этом проявляется эффект диверсификации.

Теоретически эффект диверсификации только положителен – эффективность усредняется, а риск уменьшается. Однако усилия по проведению большого числа операций, по отслеживанию их результатов могут, конечно, свести на нет все плюсы от диверсификации.

 

Случайные потоки платежей.

Таки потоки могут быть весьма разнообразны:

1. Полностью детерминированный поток – моменты платежей и величины платежей полностью определены.

2. Частично-детерминированный поток.

 

Пример 1.

По договору в течении 5 лет, в конце каждого квартала издательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000-1400 евро. Как найти современную величину этой ренты?

Решение:

Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их математических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как переводимая сумма равномерно распределена, то её математическое ожидание – середина промежутка распределения, то есть 1200 евро.

Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов равна = 3, тогда искомая современная величина = 1200 * а (20,3)=1200 * 14,877=17852 евро

Определение и сущность риска