Правило Лапласа равновозможности

Такое правило применяют иногда в условиях полной неопределенности: все неизвестные вероятности р j считают равными. После этого можно выбрать какое – нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений, т.е. правило максимизации среднего ожидаемого дохода или правило минимизации среднего ожидаемого риска.   ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1.С помощью компьютера проанализирована матрица доходов, построена по ней матрица рисков и отмечены операции, оптимальные по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при λ= 1/2) в условиях полной неопределенности. Проверьте компьютерные расчеты. 2.С помощью компьютера проанализирована матрица доходов, построена по ней матрица рисков и отмечены операции, оптимальные по критериям максимальной эффективности и минимального риска в условиях частичной неопределённости. Проверьте компьютерные расчёты. 3.Рассмотрим рискованную операцию Qс исходами q 1,…, q n. Построим для нее вектор R с компонентами r 1,…, r n, где r j==max { q i: i =1,…, n } –q j и назовем этот вектор вектором рисков. Если операция вероятностная, т.е. у исходов есть вероятности, то можно определить средний риск операции и т.д. 4.Для матрицы из примера 2 § 10.2 примените правило Лапласа равновозможности и найдите решения, наилучшие по среднему ожидаемому доходу и по среднему ожидаемому риску. 5.Элемент матрицы называется седловой точкой в ней, если он минимален в своей строке и максимален в своем столбце. Докажите, что при наличии в матрице доходов седловой точки критерий Вальда рекомендует решение-строку, в которой находится седловая точка. 6.Рассмотрим схему принятия решений или связанную группу операций с матрицей доходов Q. Говорят, что i -е решение (операция) доминирует по доходам k -е решение (операцию), если q ij≥ q kj для любого j =1,…, n. Доминирование решений по риску определяется аналогично, но с заменой неравенства на противоположное. Докажите, что доминирование по доходам эквивалентно доминированию по риску. Выведите отсюда, что доминируемое в рассматриваемом смысле решение не может быть рекомендовано ни одним из рассмотренных выше правил – критериев. Поэтому такое решение не должно рассматриваться вообще и соответствующая строка подлежит удалению из матрицы доходов. 7.Представим, что множество операций А из § 10.5 изображено на рис. 10.2. Найдите множество Парето. Докажите, что операция Т оптимальна по Парето, если построенный в ней «уголок» – второй квадрант с вершиной в ней, пересекается с множеством А только по этой точке – операции. 8.Обратимся к рис. 10.2. Соединим две точки – операции А, В - отрезком. Каждую точку F на этом отрезке можно задать числом 0≤ f ≤1, так что F = fA +(1 – f) B. Характеристики операции F получаются так же, как линейные комбинации соответствующих характеристик операций А, В. Присоединим все операции отрезка к изображенным на рис. 10.2. Докажите, что если обе операции A, В доминируемые по Парето, то и все операции отрезка А, В тоже доминируемы. Может ли так быть, что сами операции А,В недоминируемые, а все внутренние точки отрезка А,В доминируемые?

ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ

ОПЕРАЦИЙ

Финансовая операция называется вероятностной, если существует вероятность каждого ее исхода. Прибыль такой операции – разность конечной и начальной денежных ее оценок – является случайной величиной. Для такой операции удается ввести количественную оценку риска, согласующуюся с нашей интуицией.

 

Количественная оценка риска

В предыдущей главе дано определение рискованной операции, как имеющей, по крайней мере, два исхода, не равноценных в системе предпочтений ЛПР. В контексте данной главы вместо ЛПР можно, употреблять также термин «инвестор» или какой-либо подобный, отражающий заинтересованность проводящего операцию (возможно, пассивно) в ее успехе.

При исследовании риска операции встречаемся с фундаментальным утверждением.

Утверждение.

Количественная оценка риска операции возможна только при вероятностной характеристике множества исходов операции.

Пример 1.

Рассмотрим две вероятностные операции:

Q1:	-5		Q2:
0,01	0,99	0,5	0,5

 

Несомненно, риск первой операции меньше риска второй операции. Что же касается того, какую операцию выберет ЛПР, это зависит от его склонности к риску (подобные вопросы подробно рассмотрены в дополнении к ч. 2).

 

Риск отдельной операции

Так как мы хотим количественно оценить рискованность операции, а это невозможно сделать без вероятностной характеристики операции, то ее исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно назвать случайным доходом операции, или просто случайным доходом. Пока ограничимся дискретной случайной величиной (д.с.в.):

 

где q j - доход, а р j – вероятность этого дохода.

Операцию и представляющую ее случайную величину – случайный доход будем отождествлять при необходимости, выбирая из этих двух терминов болееудобный в конкретной ситуации.

Теперь можно применить аппарат теории вероятностей и найти следующие характеристики операции.

Средний ожидаемый доход – математическое ожидание с.в. Q, т.е. М [ Q ]= q 1 p 1+…+ q n p n, обозначается еще m Q, Q, употребляется также название эффективность операции.

Дисперсия операции - дисперсия с.в. Q, т.е. D [ Q ]= М [(Q - m Q)2], обозначается также D Q.

Среднее квадратическое отклонение с.в. Q, т.е. [ Q ]=√(D [ E ]), обозначается

также σ Q.

Отметим, что средний ожидаемый доход, или эффективность операции, как и среднее квадратическое отклонение, измеряется в тех же единицах, что и доход.

Напомним фундаментальный смысл математического ожидания с.в.

Среднее арифметическое значений, принятых с.в. в длинной серии опытов, примерно равно ее математическому ожиданию. Все более признанным становится оценка рискованности всей операции посредством среднего квадратического отклонения случайной величины дохода Q, т.е. посредством σ Q. В данной книге это основная количественная оценка.

Итак, риском операции называется число σ Q – среднее квадратическое отклонение случайного дохода операции Q. Обозначается также r Q.

Пример 2.

Найдем риски первой и второй операций из примера 1:

Q1:	-5		Q2:
0,01	0,99	0,5	0,5

 

Сначала вычисляем математическое ожидание с.в. Q 1:

т 1= – 5*0,01+25*0,99=24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле D 1 =M [ Q 12]- m 12. Имеем М [ Q 12] = 25*0,01+625*0,99=619. Значит, D 1=619 – (24,7)2=8,91 и окончательно r 1=2,98.

 

Аналогичные вычисления для второй операции дают m 2=20; r 2=5. Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная.

Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции – ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности.

 

Другие измерители риска.

По нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 1 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки риска в этой схеме. Полезно познакомиться: с другими измерителями риска. В большинстве случаев эти измерители – просто вероятности нежелательных событий.