Общие методы уменьшения рисков

Как правило, риск стараются уменьшить. Для этого существует немало методов. Большая группа таких методов связана с подбором других операций. Таких, чтобы суммарная операция имела меньший риск.

 

Диверсификация

Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следующее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации.

Утверждение 1.

Пусть О 1,..., О n – некоррелированные операции с эффективностями е 1 ,..., е nи рисками r 1 ,...,r 2. Тогда операция «среднее арифметическое» О =(О 1 +...+O n) / п имеет эффективность е =(e 1+...+ e n)/ n и риск r =√(r 12+… r 2n)/ n.

Доказательство этого утверждения – простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии.

Следствие 1.

Пусть операции некоррелированы и а≤ e iи b ≤r i≤ c с для всех i =1,.., n. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству b √n≤r ≤ c √n и, таким образом, при увеличении n уменьшается. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей этих операций, а риск однозначно уменьшается.

Этот вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия) и представляет собой в сущности единственно разумное правило работы на финансовом и других рынках. Этот же эффект воплощен в народной мудрости – «не клади все яйца в одну корзину». Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно уменьшится.

При применении этого правила нужно быть осторожным. Так, нельзя отказаться от некоррелированности операций.

Предложение 2.

Предположим, что среди операций есть ведущая, с которой все остальные находятся в положительной корреляционной связи. Тогда риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа суммируемых операций.

Действительно, для простоты примем более сильное предположение, именно, что все операции О i; i =1,..., n, просто копируют операцию O 1в каких – то масштабах, т.е. O i= k i O 1и все коэффициенты пропорциональности k iположительны. Тогда операция «среднее арифметическое» О =(O 1+...+ O n)/ n есть просто операция O 1в масштабе

и риск этой операции

Поэтому, если операции примерно одинаковы по масштабности, т.е. k i≈1, то и

 

Мы видим, что риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа операций.

 

Хеджирование

В эффекте диверсификации ЛПР составлял новую операцию из нескольких, имеющихся в его распоряжении. При хеджировании (от англ. hedge - изгородь) ЛПР подбирает или даже специально конструирует новые операции, чтобы, проводя их совместно с основной, уменьшить риск.

Пример 1.

По контракту российская фирма через полгода должна получить крупный платеж от украинской компании. Платеж равен 100 000 гривен (примерно 600 тыс. руб.) и будет произведен, именно в гривнах. У российской фирмы, есть опасения, что за эти полгода курс гривны упадет по отношению к российскому рублю. Фирма хочет подстраховаться от такого падения и заключает форвардный контракт с одним из украинских банков на продажу тому 100 000 гривен по курсу 6 руб. за гривну. Таким образом, что бы ни произошло за это время с курсом рубль – гривна, российская фирма не понесет из – за этого убытков.

В этом и заключается суть хеджирования. При диверсификации наибольшую ценность представляли независимые (или некоррелированные) операции. При хеджировании подбираются операции, жестко связанные с основной, но, так сказать, другого знака, говоря более точно, отрицательно коррелированные с основной операцией.

Действительно, пусть O 1 – основная операция, ее риск r 1, O 2 – некоторая дополнительная операция, ее риск r 2, О - операция – сумма, тогда дисперсия этой операции D = r 12+2 k 12 r 1 r 2+ r 22, где k - коэффициент корреляции эффективностей основной и дополнительной операций. Эта дисперсия может быть меньше дисперсии основной операции, только если этот коэффициент корреляции отрицателен (точнее: должно быть 2 k 12 r 1 r 2+ r 22<0, т.е. k 12< –r 2/(2 r 1)).

Пример 2.

Пусть ЛПР решает проводить операцию O 1.

Q1:

-10

S:

-5

0,5

0,5

0,5

0,5

O1:	-10
S:		-5
O	-5
	0,5	0,5

 

 

Ему советуют провести одновременно операцию S, жестко связанную с О. В сущности обе операции надо изобразить с одним и тем же множеством исходов.

Обозначим суммарную операцию через О, эта операция есть сумма операций O 1и S. Вычислим характеристики операций:

M [ O 1]=5, D [ O 1]=225, r 1=15;

M [ S ]=0, D [ S ]=25;

M [ O ]=5, D [ O ]=100, r =10.

Средняя ожидаемая эффективность операции осталась неизменной, а риск уменьшился из-за сильной отрицательной коррелированности дополнительной операции S по отношению к основной операции.

Конечно, на практике не так легко подобрать дополнительную операцию, отрицательно коррелированную с основной, да еще с нулевой эффективностью. Обычно допускается небольшая отрицательная эффективность дополнительной операции и из-за этого эффективность суммарной операции становится меньше, чем у основной. Насколько допускается уменьшение эффективности на единицу уменьшения риска зависит от отношения ЛПР к риску.

 

Страхование

Можно рассматривать страхование как один из видов хеджирования. Поясним некоторые термины.

Страхователь (или застрахованный) – тот, кто страхуется.

Страховщик - тот, кто страхует.

Страховая сумма - сумма денежных средств, на которую застраховано имущество, жизнь, здоровье страхователя. Эта сумма выплачивается страховщиком страхователю при наступлении страхового случая. Выплата страховой суммы называется страховым возмещением.

Страховой платеж выплачивается страхователем страховщику.

Обозначим страховую сумму ω, страховой платеж s, вероятность страхового случая р. Предположим, что застрахованное имущество оценивается в z. По правилам страхования ω≤ z.

Таким образом, можно предложить следующую схему:

Операции	1-p	p	Вероятности
Страхования нет		-z
Операция страхования	-s	w-s
Итоговая операция (страхование есть)	-s	w-s-z

 

Найдем характеристики операции без страхования и итоговой операций. Из теории страхования известно, что при нулевой рентабельности страховщика можно считать, что s = p ω. Получаем

 

	Характеристики операций:
Страхования нет	M1=-pz, D1=p(1-p)z2, r1=z√p(1-p)
Операция страхования	M=-s(1-p)+p(w-s-z)=p(w-z)-s=-pz
Итоговая операция	D=s2(1-p)+(w-s-z)2p-(pz)2

 

Предположим далее, что ω =z, т.е. страховое возмещение равно оценке застрахованного имущества, тогда D =0.

Таким образом, страхование представляется выгоднейшим мероприятием с точки зрения уменьшения риска, если бы не страховой платеж. Иногда страховой платеж составляет заметную часть страховой суммы и представляет собой солидную сумму.