Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков (ЛОДУ).

 

Определение. Дифференциальное уравнение вида:

(5.1)

называется линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка.

Если линейное однородное дифференциальное уравнение n-ого порядка.

Пусть , тогда на ЛОДУ n -ого порядка

(5.2)

(5.2a)

(*)

 

СВОЙСТВА ЛОДУ.

ТЕОРЕМА 5.1

Пусть является решением ЛОДУ (5.2). Тогда также является решением (5.2).

Доказательство: вытекает из первого свойства линейного дифференциального оператора.

 

ТЕОРЕМА 5.2 Пусть и являются решением ЛОДУ (5.2). Тогда также является решением.

Доказательство: вытекает из второго свойства линейного дифференциального оператора.

 

Следствие: Пусть решение ЛОДУ (5.2). Тогда их линейная комбинация также является решением ЛОДУ (5.2).

Определение. Любые линейных независимых решений ЛОДУ го порядка называются его фундаментальной системой решений (ФСР).

ТЕОРЕМА 6.3 Общее решение ЛОДУ (5.2) го порядка имеет вид (6.3), где - линейно независимые решения (5.2), а -постоянный коэффициент

Замечание. Таким образом общее решение ЛОДУ является линейной комбинацией его ФСР. Как вытекает из этих результатов, множество всех решений ЛОДУ образует мерное линейное пространство для которого любая ФСР является базисом.

Замечание. максимальное количество линейно независимых решений ЛОДУ го порядка равно

 

§ 7. ЛОДУ с постоянными коэффициентами

 

Рассмотрим (7.1)

Найдем вид общего решения в различных случаях -постоянных

- является частным решением уравнения (7.1)

-характеристическое уравнение для (7.1)-(7.2)

Решения характеристического уравнения при подстановке в дают частные решения уравнения (7.1), причем все. Общее решение по теореме 6.3 является линейной комбинацией этих частных решений. Таким образом, мы свели задачу решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами к задаче нахождения корней алгебраического уравнения степени n.

 

Все корни различны и действительны

Имеем n различных корней характеристического уравнения (7.2), им соответствует n корней . Согласно примеру 6.2 эти функции линейно независимы, следовательно образуют ФСР ЛОДУ (7.1), следовательно по теореме 6.3 общее решение (7.1)

.

Пример 1

Решение. характеристическое уравнение имеет вид:

- общее решение уравнения

Все корни различны, среди них есть комплексные

Комплексные корни уравнения (7.2) являются сопряженными вида им соответствуют корни (7.1) вида тогда подставляя решение этого вида в (7.1) выделяя действительные и мнимые части и приравнивая их к нулю, находим, что указанной паре комплексных корней соответствует решение (7.1) вида: и

Пример 2

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

Тогда общее решение имеет вид:

Имеются кратные корни

В 2-ч предыдущих случаях найденное число линейно независимых решений равнялось порядку уравнения (7.1), то есть было максимальным, поэтому решения образовывали ФСР.

В настоящем случае число различных корней характеристического уравнения . Для получения общего решения найдем дополнительное решение другого вида.

Пусть – корень характеристического уравнения (7.2) кратности . Тогда дополнительное решение имеет вид:

Докажем это. Рассмотрим 2 случая:

1) (корень кратности ). Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

Запишем соответствующе дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения:

Тогда дополнительное решение действительно имеет вид (*)

2) (корень кратности ) Замена

Такая замена не нарушает линейности и однородности уравнения (7.1) После подстановки получившихся выражений имеем: коэффициенты по-прежнему постоянные. Выпишем характеристическое уравнение для (7.3): (7.4)

Корни (7.4) отличаются от корней (7.2) на , так как при . Тогда этот случай сводится к предыдущему, так как корень характеристического уравнения (корень кратности ). Соответствующие решения вида . Делая обратную замену, получаем (*) Таким образом каждому кратному корню соответствует столько дополнительных корней, какова его кратность, итоговое число линейно независимых решений (7.1) равно числу корней характеристического уравнения (7.2) с учетом их кратности.

Заметим, что кратные комплексные сопряженные корни дают решение вида:

и

Пример 3

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: – корень кратности 2 Общее решение имеет вид:

Пример 4

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

Тогда по схеме 3-го случая общее решение имеет вид:

§10 Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

 

Определение. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Определение. Линейная система дифференциальных уравнений 1-го порядка (1)

Обозначим:

Тогда (1) можно записать в матричной форме . Обозначим линейный оператор .По свойствам линейного оператора получаем:1)

Определение. Векторы где называются линейно зависимыми на , если найдутся , не обращающиеся одновременно в ноль, такие, что: при всех

Если из выполняющегося равенства 3 на всем отрезке следует, что , то эти векторы называются линейно независимыми.

Из свойств линейного оператора следует, что решение однородной линейной системы имеют те же свойства, то есть их линейная комбинация является также решением однородной системы. Отсюда вытекает (с учетом определения линейной независимости) следующая теорема.

 

ТЕОРЕМА 10.1 Общим решением линейной однородной системы дифференциальных уравнений (4) является линейная комбинация линейных независимых решений этой системы:

Доказательство.

 

(6)

Уравнение (6) называется характеристическим

Найдя корни характеристического уравнения (оно – степени и потому имеет, с учетом кратности, корней), найдем .

Это только в случае различных корней.

 

 

Пример 1

Решение. Составим характеристическое уравнение

Возьмем ,

Общее решение имеет вид:

 

 

Пример 1

Решение. Составим характеристическое уравнение

Возьмем ,

Общее решение имеет вид: