Дифференциальные уравнения (ДУ) с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Основные понятия

 

Дифференциальным уравнением называется выражение вида:

(1), связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной

Пример 1: ДУ 4-го порядка

Функция называется решением (интегралом) дифференциального уравнения вида (1), если оно обращает его в верное тождество. (В некоторой области )

Определение. Общее решение уравнения n-го порядка , где - произвольные постоянные

Определение. Частное решение получается из общего, когда параметры принимают конкретные числовые значения

График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.

Процедура решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида:

(2)

Определение. Нормальная форма: (2а) – разрешенная относительно

Определение. Условие вида называется начальным условием

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид:

Определение. Частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид: , где - конкретное числовое значение

Пример 2: Решение:

Определение. Пусть даны уравнения (2а) и начальные условия (3). Задача нахождения решения дифференциального уравнения (2а) удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения ) Пусть решение уравнения (2)/(2а) – функция и непрерывны в области . Тогда найдется такое значение , существующее и единственное решение дифференциального уравнения (2) удовлетворяющее начальному условию (3)

 

Геометрический смысл теоремы Коши: При выполнении условия теоремы всегда найдется, и притом единственная, интегральная кривая, проходящая через точку

Довольно часто дифференциальное уравнение не удается разрешить в элементарных функциях относительно произвольной постоянной. Тогда решение задается в виде

- общий интеграл этого уравнения.

Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка:

В нормальной форме В фиксированной

Фактически задан угловой коэффициент касательной к интегральной прямой, говорят, что задано поле направлений. Таким образом с геометрической точки зрения решение дифференциального уравнения 1-го порядка представляет собой нахождение интегральных кривых, касательные к которым совпадают с направлением поля в данных точках.

Геометрическое место точек, в которых выполняется называется изоклиной данного дифференциального уравнения вида (2).

 

ОДНОРОДНЫЕ ДУ.

Определение. Функция называется однородной (относительно своих аргументов), если - k-ого измерения.

Определение. ДУ первого порядка называется однородным, если оно в нормальной форме имеет вид или если функции и в дифференциальной форме записи этого ДУ являются однородными функциями одного и того же измерения.

Эти уравнения приводятся в ДУ с разделяющимися переменными.

Пусть . Заменим или , тогда , подставим:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Аналогично решается однородное ДУ записанное в дифференциальной форме.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Преобразуем его к нормальной форме:

Замена: , получим:

Общий интеграл .

 

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.

Определение. Дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли сводится к ЛДУ с помощью замены .

Пример. Найти общее решение уравнения:

Решение:

1) Решим однородное уравнение:

Делаем замену , получаем:

2) Подставляем в исходное неоднородное ЛДУ:

- ЛДУ первого порядка.

Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной:

Решим однородное уравнение:

 

Решим неоднородное уравнение методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной):

Подставим в неоднородное уравнение:

- общее решение. Прибавим частное решение .

СВОЙСТВА ЛОДУ.

ТЕОРЕМА 5.1

Пусть является решением ЛОДУ (5.2). Тогда также является решением (5.2).

Доказательство: вытекает из первого свойства линейного дифференциального оператора.

 

ТЕОРЕМА 5.2 Пусть и являются решением ЛОДУ (5.2). Тогда также является решением.

Доказательство: вытекает из второго свойства линейного дифференциального оператора.

 

Следствие: Пусть решение ЛОДУ (5.2). Тогда их линейная комбинация также является решением ЛОДУ (5.2).

Определение. Любые линейных независимых решений ЛОДУ го порядка называются его фундаментальной системой решений (ФСР).

ТЕОРЕМА 6.3 Общее решение ЛОДУ (5.2) го порядка имеет вид (6.3), где - линейно независимые решения (5.2), а -постоянный коэффициент

Замечание. Таким образом общее решение ЛОДУ является линейной комбинацией его ФСР. Как вытекает из этих результатов, множество всех решений ЛОДУ образует мерное линейное пространство для которого любая ФСР является базисом.

Замечание. максимальное количество линейно независимых решений ЛОДУ го порядка равно

 

§ 7. ЛОДУ с постоянными коэффициентами

 

Рассмотрим (7.1)

Найдем вид общего решения в различных случаях -постоянных

- является частным решением уравнения (7.1)

-характеристическое уравнение для (7.1)-(7.2)

Решения характеристического уравнения при подстановке в дают частные решения уравнения (7.1), причем все. Общее решение по теореме 6.3 является линейной комбинацией этих частных решений. Таким образом, мы свели задачу решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами к задаче нахождения корней алгебраического уравнения степени n.

 

Имеются кратные корни

В 2-ч предыдущих случаях найденное число линейно независимых решений равнялось порядку уравнения (7.1), то есть было максимальным, поэтому решения образовывали ФСР.

В настоящем случае число различных корней характеристического уравнения . Для получения общего решения найдем дополнительное решение другого вида.

Пусть – корень характеристического уравнения (7.2) кратности . Тогда дополнительное решение имеет вид:

Докажем это. Рассмотрим 2 случая:

1) (корень кратности ). Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

Запишем соответствующе дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения:

Тогда дополнительное решение действительно имеет вид (*)

2) (корень кратности ) Замена

Такая замена не нарушает линейности и однородности уравнения (7.1) После подстановки получившихся выражений имеем: коэффициенты по-прежнему постоянные. Выпишем характеристическое уравнение для (7.3): (7.4)

Корни (7.4) отличаются от корней (7.2) на , так как при . Тогда этот случай сводится к предыдущему, так как корень характеристического уравнения (корень кратности ). Соответствующие решения вида . Делая обратную замену, получаем (*) Таким образом каждому кратному корню соответствует столько дополнительных корней, какова его кратность, итоговое число линейно независимых решений (7.1) равно числу корней характеристического уравнения (7.2) с учетом их кратности.

Заметим, что кратные комплексные сопряженные корни дают решение вида:

и

Пример 3

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: – корень кратности 2 Общее решение имеет вид:

Пример 4

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

Тогда по схеме 3-го случая общее решение имеет вид:

§10 Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

 

Определение. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Определение. Линейная система дифференциальных уравнений 1-го порядка (1)

Обозначим:

Тогда (1) можно записать в матричной форме . Обозначим линейный оператор .По свойствам линейного оператора получаем:1)

Определение. Векторы где называются линейно зависимыми на , если найдутся , не обращающиеся одновременно в ноль, такие, что: при всех

Если из выполняющегося равенства 3 на всем отрезке следует, что , то эти векторы называются линейно независимыми.

Из свойств линейного оператора следует, что решение однородной линейной системы имеют те же свойства, то есть их линейная комбинация является также решением однородной системы. Отсюда вытекает (с учетом определения линейной независимости) следующая теорема.

 

ТЕОРЕМА 10.1 Общим решением линейной однородной системы дифференциальных уравнений (4) является линейная комбинация линейных независимых решений этой системы:

Доказательство.

 

(6)

Уравнение (6) называется характеристическим

Найдя корни характеристического уравнения (оно – степени и потому имеет, с учетом кратности, корней), найдем .

Это только в случае различных корней.

 

 

Пример 1

Решение. Составим характеристическое уравнение

Возьмем ,

Общее решение имеет вид:

 

 

Пример 1

Решение. Составим характеристическое уравнение

Возьмем ,

Общее решение имеет вид:

 

Основные понятия

 

Дифференциальным уравнением называется выражение вида:

(1), связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной

Пример 1: ДУ 4-го порядка

Функция называется решением (интегралом) дифференциального уравнения вида (1), если оно обращает его в верное тождество. (В некоторой области )

Определение. Общее решение уравнения n-го порядка , где - произвольные постоянные

Определение. Частное решение получается из общего, когда параметры принимают конкретные числовые значения

График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.

Процедура решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида:

(2)

Определение. Нормальная форма: (2а) – разрешенная относительно

Определение. Условие вида называется начальным условием

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид:

Определение. Частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид: , где - конкретное числовое значение

Пример 2: Решение:

Определение. Пусть даны уравнения (2а) и начальные условия (3). Задача нахождения решения дифференциального уравнения (2а) удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения ) Пусть решение уравнения (2)/(2а) – функция и непрерывны в области . Тогда найдется такое значение , существующее и единственное решение дифференциального уравнения (2) удовлетворяющее начальному условию (3)

 

Геометрический смысл теоремы Коши: При выполнении условия теоремы всегда найдется, и притом единственная, интегральная кривая, проходящая через точку

Довольно часто дифференциальное уравнение не удается разрешить в элементарных функциях относительно произвольной постоянной. Тогда решение задается в виде

- общий интеграл этого уравнения.

Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка:

В нормальной форме В фиксированной

Фактически задан угловой коэффициент касательной к интегральной прямой, говорят, что задано поле направлений. Таким образом с геометрической точки зрения решение дифференциального уравнения 1-го порядка представляет собой нахождение интегральных кривых, касательные к которым совпадают с направлением поля в данных точках.

Геометрическое место точек, в которых выполняется называется изоклиной данного дифференциального уравнения вида (2).

 

Дифференциальные уравнения (ДУ) с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Определение. Уравнения вида (1) называется ДУ первого порядка с разделяющимися переменными Схема решения:

;

где G(y) – первообразная от функции .

Общий интеграл имеет:

 

Определение. Дифференциальная форма ДУ первого порядка имеет вид:

ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:

 

ОДНОРОДНЫЕ ДУ.

Определение. Функция называется однородной (относительно своих аргументов), если - k-ого измерения.

Определение. ДУ первого порядка называется однородным, если оно в нормальной форме имеет вид или если функции и в дифференциальной форме записи этого ДУ являются однородными функциями одного и того же измерения.

Эти уравнения приводятся в ДУ с разделяющимися переменными.

Пусть . Заменим или , тогда , подставим:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Аналогично решается однородное ДУ записанное в дифференциальной форме.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Преобразуем его к нормальной форме:

Замена: , получим:

Общий интеграл .