Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) первого порядка. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнение вида: (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Методы решения данных уравнений:
- Первый метод (Бернулли): Подставляем в (1) => Найдем u(x):
Подставим полученное уравнение для u(x) в (*). (*) примет вид: Таким образом, идея метода Бернулли заключается в сведении задачи к последовательному решению ДУ с разделяющимися переменными.
Пример. Найти общее решение уравнения: Решение: - линейное ДУ первого порядка. Решим методом Бернулли:
1) 2) Подставим в уравнение (*): Общее решение:
- Второй метод (вариации произвольной постоянной) 1) Пусть , тогда: (1а) - общее решение однородного уравнения (1а). 2) Пусть правая часть . Пусть в (2) . Тогда из (2): Подставим в (1): Тогда .
Замечание: целесообразно при решении линейных ДУ первого порядка использовать схемы метода вариации произвольной постоянной, а не полученную формулу.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ. Определение. Дифференциальное уравнение вида: называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли сводится к ЛДУ с помощью замены . Пример. Найти общее решение уравнения: Решение: 1) Решим однородное уравнение: Делаем замену , получаем: 2) Подставляем в исходное неоднородное ЛДУ: - ЛДУ первого порядка. Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной: Решим однородное уравнение:
Решим неоднородное уравнение методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной): Подставим в неоднородное уравнение:
- общее решение. Прибавим частное решение . ДУ высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядков. Определение. ДУ n-ого порядка называется дифференциальное уравнение: (4.1) Если F непрерывна по всем переменным, то (4.1) можно представить: (4.2) Задача Коши: (4.3) - условие Коши.
ТЕОРЕМА 4.1 (существования и единственности решения задачи Коши 4.2, 4.3) Пусть функция определена в окрестности и непрерывны по всем переменным частные производные первого порядка (по ), тогда задача Коши имеет и при том единственное решение.
УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. 1. Уравнения, не содержащие функцию и её производные до k-1 порядка включительно. (*) Обозначим Решая последнее уравнение получим p, затем интегрируя k раз получим y.
Пример 1: Решить уравнение Решение: 2. Уравнения, не содержащие независимую переменную: Замена: и т.д. Пример 2: Решить уравнение: . Решение: Замена: , подставим: , частное решение .
Получим общее решение: Общее решение включает в себя также частное решение .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 312; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.211.188.101 (0.01 с.) |