Магнітний потік. Теорема Гаусса для магнітного поля

Потоком магнітної індукції або магнітним потоком називають скалярну величину, яка дорівнює:

 

, (13.2.1)

 

де - вектор індукції магнітного поля у напрямку нормалі до площадки dS (рис.13.3)

 

Рис.13.3

 

Повний магнітний потік через поверхню S знаходять шляхом інтегрування.

Розмірність магнітного потоку визначається так:

 

[Ф] = [В]×[S] = Тл×м² = Вб.

 

Магнітному потоку в 1 Вб відповідає 10⁸ силових ліній індукції магнітного поля крізь площадку в 1 м².

 

У випадку замкнутої поверхні слід відрізняти між собою такі особливості:

- силові лінії, які входять у поверхню, мають від’ємний потік, тому в цьому випадку

 

- силові лінії, які виходять з поверхні мають

 

- у загальному випадку

 

. (13.2.2)

Вираз (13.2.2) є теоремою Гаусса для магнітного поля. Суть цієї теореми полягає в тому, що силові лінії магнітного поля не пов’язані з магнітними зарядами. Магнітних зарядів у природі не існує. Описане явище показане на рис. 13.4.

 

Рис.13.4

. (13.2.3)

 

13.3. Робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом у магнітному полі

Знайдемо роботу, яку слід виконати для переміщення провідника із струмом І у магнітному полі, як це показано на рис. 13.5

 

 

Рис.13.5

 

Провідник, що має довжину l і струм І виготовлений у вигляді коточка і має можливість переміщуватись. На рухому частину провідника з сторони магнітного поля діє сила Ампера, напрям якої визначається правилом лівої руки.

Для переміщення такого коточка вздовж направляючих дротів слід прикладати силу F, яка має бути рівною силі Ампера. Робота в цьому випадку буде дорівнювати:

 

. (13.3.1)

 

де F_A=IBl – величина сили Ампера, яка діє на рухомий коточок, тому:

 

dA = -IВldx = -IВdS = -IdF (13.3.2)

 

Знак мінус показує, що робота виконується проти сили Ампера.

 

Якщо роботу виконує сила Ампера, то

 

dA= IdF (13.3.3)

 

де dА – позитивна робота, виконана силою Ампера.

Після інтегрування одержуємо роботу сили по переміщенню провідника із струмом у магнітному полі.

 

A = -IDF,

 

або

A =IDF. (13.3.4)

 

У випадку контуру із струмом, який рухається у магнітному полі, слід враховувати як позитивну роботу, так і негативну роботу переміщення двох частин цього контуру (рис.13.6)

 

 

Рис.13.6

 

При русі частини контуру АС (зліва) робота виконується позитивна. Тому в цьому випадку

dA₁ = I(dF₁ + dF₀), (13.3.5)

 

де dФ₁ – потік, який визначається площею лівої частини контуру АС (заштрихована площа),

dФ₀ - потік, який визначається площею самого контуру з струмом.

При переміщенні правої сторони цього контуру робота буде дорівнювати

 

dA₂ = -I(dF₂ + dF₀), (13.3.6)

 

де dФ₂ – потік, який утвориться переміщенням правої частини контуру; dФ₀ – потік за рахунок площі самого контуру.

Ця площа перекривається площею правої сторони контуру. Робота dА₂ – від’ємна.

У загальному випадку робота переміщення контуру з струмом у магнітному полі буде дорівнювати

 

dA = I(dF₁ - dF₂)= IdF. (13.3.7)

 

Після інтегрування одержимо

 

А=ІDФ. (13.3.8)

 

Висновок. Робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом визначається однаковою формулою.

 

Енергія магнітного поля

 

Розглянемо замкнуте коло, в якому є резистор R, котушка L і джерело струму e (рис.13.7)

Рис.13.7

 

Скористаємось другим правилом Кірхгофа для замкнутого контуру, показаного на рис.13.7.

У цьому випадку

, (13.4.1)

 

або

, (13.4.2)

де - електрорушійна сила самоіндукції, діє лише в момент замикання або розмикання кола.

З рівняння (13.4.2) визначимо електрорушійну силу джерела

 

. (13.4.3)

Зведемо цей вираз до спільного знаменника

 

edt = Irdt + LdI. (13.4.4)

 

Помножимо вираз (13.4.4) на струм І, одержимо

 

Iedt = I²rdt + LIdI, (13.4.5)

 

де I²rdt - джоулевe тепло; Iedt - робота сторонніх сил джерела струму; LIdI - енергія магнітного поля, локалізована в котушці зі струмом.

 

Тому

dW_м= LIdI. (13.4.6)

 

Інтегруємо цей вираз у межах зміни енергії магнітного поля від 0 до W_м, а струму від 0 до І, одержимо

 

,

або

. (13.4.7)

 

Вираз (13.4.7) визначає енергію магнітного поля котушки зі струмом.

Для довгого соленоїда L=mm₀n²V. Підставимо це значення L у (13.4.7), одержимо

. (13.4.8)

де m²m₀²n²І²=В² – квадрат індукції магнітного поля соленоїда.

З урахуванням цього зауваження одержуємо:

. (13.4.9)

 

При діленні енергії магнітного поля на об’єм одержимо об’ємну густину енергії магнітного поля, локалізованого в котушці

 

,

 

або

. (13.4.10)

 

 

ЛЕКЦІЯ 14

 

МАГНІТНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ