Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля. Приклади розрахунку полів

 

Як уже показано вище, робота переміщення одиничного позитивного заряду q_o в полі заряду q, виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, тобто

 

А_1,2 = П₁ – П₂ = -(П₂ – П₁) = -q(j₂ - j₁).

 

Запишемо цю роботу для безмежно малого переміщення, на якому електричний потенціал змінюється на безмежно малу величину

 

dА = -q_odj,

і

dА = q_o . (7.3.1)

 

 

Прирівняємо праві сторони рівностей (7.3.1), одержимо зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатичного поля:

 

= -dj,

звідки

E = - . (7.3.2)

 

Сам потенціал dj є величиною скалярною, а градієнт зміни потенціалу в певному напрямі є величиною векторною.

В більш загальному випадку просторового переміщення точкового заряду формула (7.3.2) набуває вигляду

 

= - j = - j,

 

де - вектор, який має назву оператора Гамільтона або його ще називають “набла”.

Оператор є вектором, який також можна записати так

 

= + + , (7.3.3)

 

де , , - одиничні вектори в напрямку осей x,y,z декартової системи координат.

Знайдемо різницю потенціалів j₂ - j₁, в двох точках поля біля безмежної поверхні з поверхневою густиною зарядів s у відповідності з рисунком (рис.7.4)

Рис 7.4

 

Скористаємося формулою (7.3.2) зв’язку напруженості електрич-ного поля з потенціалом, одержимо

 

dj = -Edr. (7.3.4)

 

Напруженість поля E біля безмежної поверхні розрахована в шостій лекції (6.3.3), тому скористаємось готовим результатом, який дорівнює

E = .

Тоді

dj = - dr.

 

Інтегруємо цей вираз в межах зміни координати від x₁ до x₂ і зміни потенціалу від φ₁ до φ₂, одержимо

 

= - ,

звідки

j₂ - j₁ = - (x₂ – x₁),

або

j₁ - j₂ = (x₂ – x₁). (7.3.5)

 

2. Потенціали поля в двох точках біля довгого, рівномірно зарядженого стрижня з лінійною густиною зарядів t у відповідності з рисунком (рис. 7.5)

 

 

Рис 7.5

 

На довільній відстані x від стрижня напруженість електричного поля розраховується або за принципом суперпозиції (методом інтегрування), або за теоремою Гаусса. Скористаємось готовою формулою напруженості електричного поля (6.3.15) попередньої лекції

E = .

 

Підставимо це значення напруженості у формулу (7.3.2) та виконаємо інтегрування

dj = - dx, (7.3.6)

або

= - ,

звідки

j₁ - j₂ = ln . (7.3.7)

 

Аналогічно можуть бути виконані і будь-які інші розрахунки різниці потенціалів електричного поля статичних зарядів.

 

 

ЛЕКЦІЯ 8

ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В ПРОВІДНИКУ. ЕЛЕКТРОЄМНІСТЬ

Провідник в електростатичному полі. Розподіл зарядів у провіднику.

Електроємність окремого провідника. Конденсатори. Електроємність конденсаторів різної форми.

Енергія взаємодії електричних зарядів. Енергія окремого провідника й конденсатора.

Енергія електростатичного поля. Густина енергії електростатичного поля.