Рух точки по колу. Кутова швидкість і кутове прискорення

Довільний криволінійний рух можна подати як рух по дугах кіл. Тому зупинимося на кінематиці обертального руху, або руху точки вздовж колової траєкторії. У даному випадку зручно користуватись полярною системою координат, координатами якої є радіус кола R і кут повороту радіуса відносно вибраного напрямку j. В цьому випадку R – відстань від центра кола до точки на коловій траєкторії, а j - полярний кут (кут обертання)

 

Рис.1.3

 

З рис. 1.3 видно, що - кутове переміщення – векторна величина, модуль якої дорівнює куту повороту радіуса вектора за час dt. Напрям цього вектора збігається з напрямком поступального руху правого гвинта.

Кутова швидкість – векторна величина, яка дорівнює зміні кута повороту радіуса - вектора з часом, тобто

. (1.2.1)

Напрям вектора збігається з напрямком . Одиницею вимірювання кутової швидкості є рад/с.

Кутове прискорення – векторна величина, яка дорівнює зміні кутової швидкості з часом, тобто

 

. (1.2.2)

 

Напрям вектора кутового прискорення направлений по осі обертання (рис. 1.3). Вектор кутового прискорення руху точки по колу збігається з напрямком . Для сповільненого обертання вектор має протилежний напрям до вектора . Вимірюється кутове прискорення у рад/с².

Модуль вектора лінійної швидкості точки , напрям якої збігається з дотичною до кола, зв’язаний з модулем вектора кутової швидкості співвідношенням:

 

. (1.2.3)

 

У векторній формі вектор швидкості дорівнює векторному добутку векторів і

 

. (1.2.4)

 

 

З визначення векторного добутку модуль вектора швидкості визначається співвідношенням

 

ê ê =wR sina, (1.2.5)

 

де a - кут між векторами і , як це показано на рис. 1.4.

Для рівномірного обертання матеріальної точки по коловій траєкторії модуль кутової швидкості дорівнює

 

. (1.2.6)

 

 

Рис.1.4

 

 

Рівномірний рух по колу можна характеризувати також періодом обертання Т, тобто часом, за який точка здійснює один повний оберт, 2p = wТ. Звідки

. (1.2.7)

 

Частота обертання визначається числом повних обертів, які здійснює точка при русі по колу, за одиницю часу:

 

. (1.2.8)

 

При рівноприскореному обертальному русі b = const. Тому формули кінематики обертального руху точки матимуть вигляд:

 

. (1.2.9)

 

Рівноприскорений обертальний рух характеризується дотичним й нормальним або доцентровим прискореннями:

 

;

 

у векторній формі ,

 

. (1.2.10)

 

Зв’язок пройденого шляху по дузі кола з кутом повороту визначається так:

. (1.2.11)

 

Тангенціальне й нормальне прискорення. Зв’язок між кінематичними величинами криволінійного руху

Розглянемо нерівномірний криволінійний рух матеріальної точки. За малий проміжок часу Dt лінійна швидкість точки змінюється від до у відповідності з рисунком.

 

 

Рис.1.4

 

Вектори лінійної швидкості і змінюється як за величиною, так і за напрямком. З рис.1.4. видно, що

 

. (1.3.1)

 

У цьому випадку миттєве прискорення точки буде дорівнювати

 

. (1.3.2)

 

В граничному випадку при Dt®0, , де

і

 

. (1.3.3)

 

У випадку, коли вектори змінюються з часом, зв’язок між кінематичними величинами знаходять шляхом диференціювання за часом векторного добутку , тобто

 

. (1.3.4)

 

З цього співвідношення отримуємо:

 

і

. (1.3.5)

 

Напрямки векторів а також і є взаємно перпендикулярними.

 

Із цих міркувань можна зробити такі висновки:

- нормальне й тангенціальне прискорення точки зростають лінійно із зростанням відстані точки до осі обертання;

- вектор дотичного або тангенціального прискорення завжди збігається з дотичною до колової траєкторії;

- вектор нормального прискорення направлений від точки на коловій траєкторії в стророну центра кола.

 

 

 

ЛЕКЦІЯ 2