Моменти інерції найпростіших тіл показані в таблиці 1.

Таблиця 1

 

Тіло	Вісь обертання	Момент інерції
Обруч
Диск
Стрижень
Куля

4.3. Момент імпульсу. Момент сили. Основне рівняння динаміки обертального руху. Кінетична енергія обертання

Моментом імпульсу матеріальної точки масою m_i називається векторний добуток радіуса-вектора на вектор імпульсу цієї точки

 

= [ ]. (4.3.1)

 

За означенням напрям вектора моменту імпульсу визначають за правилом векторного добутку. На рис. 4.7 показано напрям вектора моменту імпульсу матеріальної точки, який збігається з напрямком поступального руху правого гвинта.

 

Рис.4.7

 

Момент імпульсу твердого тіла знаходять за допомогою додавання моментів імпульсу всіх матеріальних точок тіла:

 

, (4.3.2)

 

або

. (4.3.3)

 

Знайдемо похідну за часом від рівняння (4.3.1)

 

, (4.3.4)

 

де , так як це однонапрямлені вектори;

- сила у відповідності з другим законом Ньютона; - момент сили, діючий на і-ту матеріальну точку.

 

З урахуванням всіх позначень рівність (4.3.4) набуває вигляду

 

. (4.3.5)

 

Підсумувавши цю рівність для всіх матеріальних точок твердого тіла, одержимо

. (4.3.6)

 

Рівність (4.3.3) для твердого тіла дає величину моменту імпульсу тіла, який дорівнює

 

. (4.3.7)

 

Таким чином для твердого тіла виконується рівність

,

або (4.3.8)

.

 

Рівності (4.3.8) у фізиці називають основним рівнянням динаміки обертального руху. В цих рівностях І – скалярна величина, яка є мірою інертності тіл при обертальному русі; - кутове прискорення – векторна величина, напрям якого збігається з напрямком поступального руху правого гвинта. Вектор моменту імпульсу направлений за напрямком вектора кутового прискорення.

Основне рівняння динаміки обертального руху відіграє таку ж роль у динаміці обертального руху, що і другий закон Ньютона для поступального руху. Ці закони мають також однакову форму написання.

 

, або , або . (4.3.9)

 

, або , або . (4.3.10)

 

Знайдемо вираз для кінетичної енергії обертального руху матеріальної точки або твердого тіла.

Скористаємося формулою кінетичної енергії поступального руху матеріальної точки або твердого тіла:

 

. (4.3.11)

 

де ; - момент інерції твердого тіла відносно осі обертання.

Якщо тіло здійснює поступальний і обертальний рухи, то його повна кінетична енергія буде дорівнювати сумі кінетичних енергій поступального й обертального рухів

 

, (4.3.12)

 

де І – момент інерції тіла відносно вибраної осі обертання; u – швид-кість руху центра мас цього тіла.

Зіставивши вирази кінетичної енергії поступального й обертального рухів, робимо висновок, що мірою інертності при обертальному русі є момент інерції тіла.

Розглянемо рух матеріальної точки або твердого тіла по коловій траєкторії у відповідності з рис. 4.8.

Рис. 4.8

За безмежно малий час матеріальна точка під дією сили F здійснює переміщення по дузі dS, довжина якої дорівнює rdj. При цьому виконується механічна робота

 

dA = FdS = Fr dj = M dj. (4.3.13)

 

Потужність у цьому випадку буде дорівнювати

 

, (4.3.14)

 

де М – момент діючої сили; w - кутова швидкість.

Потужність є скалярною величиною, тому

 

. (4.3.15)