Закон повного струму. Використання закону повного струму для розрахунку магнітного поля

Скористаємось рівнянням Максвелла для циркуляції вектора напруженості магнітного поля

 

, (13.1.1)

 

де j – густина струму провідності вільних електричних зарядів; - струм зміщення, не пов’язаний з наявністю вільних електричних зарядів; Н – напруженість магнітного поля.

У провідниках, в яких є вільні електричні заряди, струм зміщення відсутній (він може існувати лише у діелектричному середовищі), тобто

 

.

 

У цьому випадку рівняння (13.1.1) набуває вигляду:

 

. (13.1.2)

 

Рівняння (13.1.2) називається законом повного струму. Для написання закону повного струму через індукцію магнітного поля слід замінити Н у формулі (13.1.2) на

.

 

Закон повного струму у цьому випадку матиме вигляд

 

. (13.1.3)

 

Рівняння (13.1.3) формулюється так:

 

Циркуляція вектора індукції магнітного поля уздовж довільного замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі всіх струмів, охоплених цим контуром і помноженій на mm₀.

 

Як видно з рівняння (13.1.3)

 

.

 

Таке магнітне поле називається вихровим. Силові лінії магнітного поля є завжди замкнутими.

 

Скористаємось законом повного струму (13.1.3) для розра-хунку магнітного поля соленоїда і тороїда.

 

а) знайдемо циркуляцію вектора В вздовж замкнутого контуру ABCD (рис.13.1). У нашому випадку витки в соленоїді щільно прилягають один до одного. Соленоїд має довжину, значно більшу за діаметр.

 

 

Рис.13.1

 

.

 

На ділянках DA і BC ; Тут а

На ділянці CD ; Цю ділянку можна вибрати досить далеко від соленоїда, де магнітне поле відсутнє.

Тому з урахуванням цих зауважень маємо:

. (13.1.4)

де N – число витків, які вкладаються в інтервалі довжини соленоїда АВ; І – струм, який протікає в цих витках.

Але , де l = AB. Закон повного струму в цьому випадку перепишеться:

. (13.1.5)

 

Звідки індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда буде дорівнювати:

 

. (13.1.6)

 

Вираз (13.1.6) показує, що на осі довгого соленоїда зі струмом І індукція магнітного поля дорівнює:

 

В = mm₀nI.

 

б) магнітне поле на осі тороїда.

 

Розглянемо тороїд, який має вигляд довгого соленоїда, кінець і початок якого збігаються (рис.13.2).

Рис.13.2

 

Витки в такій котушці щільно прилягають один до одного, а радіус осьової лінії R. Знайдемо циркуляцію вектора вздовж осьової лінії тороїда

 

,

де N - число витків у тороїді; І - струм у витках.

 

Але - довжина кола вздовж осьової лінії, тому

 

,

де - число витків на одиницю довжини осьової лінії тороїда.

Таким чином, індукція магнітного поля на осі тороїда визначається такою ж формулою, що і для довгого соленоїда, тобто

 

В = mm₀nI. (13.1.7)