При использовании каких методов решения систем линейных алгебраических уравнений можно добиться сколь угодно высокой точности решения?

при прямых

при косвенных

при итерационных

при хорошо обусловленных

 

20. От чего зависит успех применения численных методов для поиска и уточнения корней алгебраического уравнения (т.е. сходимость алгоритма уточнения решения к точному решению):

А) от близости начального приближения x₀ к корню,

Б) от постановки задачи

В) от выбора конкретного численного метода,

Г) от заданной точности.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ/ЭКЗАМЕНУ

ТЕМА 1. Классификация численных методов. Основы теории погрешностей

1. Численные методы. Требования устойчивости, сходимости, экономичности. Классификация численных методов по группам решаемых задач.

2. Устранимая и неустранимая погрешности математического моделирования.

3. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности.

4. Погрешности арифметических операций.

5. Прямая задача теории погрешностей (погрешности вычисления значений функции).

6. Обратная задача теории погрешностей (определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции).

ТЕМА 2. Численное решение нелинейных уравнений с одним неизвестным

1. Методы отделения корней уравнения: графический способ, аналитический способ.

2. Методы уточнения приближенных корней: метод дихотомии (половинного деления), метод хорд, метод Ньютона (касательных), метод секущих, метод простых итераций.

ТЕМА 3. Численное решение систем уравнений

1. Точные методы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса, метод Халецкого, метод прогонки.

2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений: метод Якоби, метод Зейделя.

3. Численное решение систем нелинейных уравнений: метод Ньютона, метод простой итерации.

ТЕМА 4. Приближение функций

1. Постановка задачи интерполирования.

2. Полиномиальная интерполяция: интерполяционные формулы Ньютона, интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.

3. Интерполирование функций сплайнами (кусочно-полиномиальная интерполяция). Оценка погрешности интерполирования кубическими сплайнами.

4. Обратное интерполирование.

5. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

6. Равномерное приближение функций.

ТЕМА 5. Численные методы оптимизации

1. Методы одномерной безусловной оптимизации: метод половинного деления, метод золотого сечения, метод Фибоначчи, метод Пауэлла, метод секущих, метод касательной.

2. Методы многомерной локальной безусловной оптимизации нулевого порядка: метод прямого поиска (метод Хука–Дживса), метод деформируемого многогранника (метод Нелдера–Мида), метод вращающихся координат (метод Розенброка), метод параллельных касательных (метод Пауэлла). Метод случайного поиска.

3. Методы многомерной локальной безусловной оптимизации первого порядка: метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска, метод наискорейшего покоординатного спуска (метод Гаусса–Зейделя), метод сопряженных градиентов.

4. Методы многомерной локальной безусловной оптимизации второго порядка: метод Ньютона, метод Ньютона–Рафсона.

5. Методы локальной условной оптимизации: метод множителей Лагранжа (аналитический метод), метод Франка–Вулфа (линейные ограничения), методы штрафных (нелинейные ограничения) и барьерных функций (использование двойственности).

6. Методы глобальной оптимизации (схемы перебора): метод Монте–Карло, метод ветвей и границ, метод динамического программирования.

ТЕМА 6. Численное дифференцирование

1. Некорректность операции численного дифференцирования. Формулы численного дифференцирования.

2. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании (погрешность усечения и погрешность округления) и их оценка.

ТЕМА 7. Численное интегрирование

1. Численное интегрирование на основе формул Ньютона–Котеса: формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона (формула парабол), формула Ньютона.

2. Методы статистических испытаний (методы Монте–Карло).

3. Численное интегрирование на основе метода Гаусса.

ТЕМА 8. Численное решение дифференциальных уравнений

1. Аналитические приближенные методы решения задачи Коши: метод последовательного дифференцирования, метод неопределенных коэффициентов, метод последовательных приближений.

2. Численные методы решения задачи Коши. Разностные схемы: метод Эйлера, симметричная схема, метод Адамса.

3. Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге–Кутта.

4. Методы решения краевой задачи Коши: метод конечных разностей, метод прогонки.

 

 

1. Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах: Учеб. пособие для вузов / Н. В. Копченова, И. А. Марон. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009.

2. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие / Г. И. Марчук. – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009.

3. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Наука, 2003.

4. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2002.

5. Вержбицкий, В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) / В. М. Вержбицкий. – М.: ОНИКС 21 век, 2005.

6. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) / В. М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2001.

7. Численные методы [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/files/vved.shtm, свободный.

8. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/courses.asp, свободный.

9. Лабораторные работы по курсу «Вычислительная математика» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: – http://nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/educat/systemat/amosova/lr.asp.htm, свободный.

10. Основы численных методов [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.tgspa.ru/info/education/faculties/ffi/ito/programm/osn_chm/index.htm, свободный.

11. Численные методы [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mathserfer.com/theory.php?tema=chmeth, свободный.