Решение уравнений в частных производных.

К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, и др. Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время t, координаты , скорости частиц . Пример – уравнение теплопроводности

, (17)

где U ­– температура, – теплоемкость, – коэффициент теплопроводности, q – плотность источников тепла.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных применяется сеточный метод, суть которого – в разбиении области, в которой ищется решение, сеткой узлов заданной конфигурации, после чего составляется разностная схема уравнения и находится его решение, например методом разностной аппроксимации.

Рассмотрим в качестве примера одномерную задачу, близкую по смыслу к (17):

. (18)

Здесь 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t ≤ T.

Граничные условия:

Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем. Метод разностной аппроксимации заключается в том, что каждая производная, входящая в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяется разностным выражением, включающим в себя только значения в узлах сетки.

Введем равномерную прямоугольную сетку по x и t с шагом h и τ соответственно и заменить производные соответствующими разностными отношениями. Тогда

. (19)

Здесь 1 ≤ k ≤ N -1 – число точек по координате x; 0 ≤ m ≤ M – число точек по координате t. Число неизвестных в (19) больше числа уравнений, недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных условий:

; 0 ≤ k ≤ N.

; ; 0 ≤ m ≤ M.

Схема (19) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции. Такие схемы называют неявными. Для фактического вычисления решения следует переписать схему так:

, где 1 ≤ k ≤ N -1.

; . (20)

Теперь схема представляет собой систему линейных уравнений для определения величин ; правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решений для предыдущего индекса времени.

 

Другим вариантом решения сеточной задачи является использование интегро-интерполяционных методов (методов баланса), в которых дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке сетки, приближенно вычисляя интегралы по квадратурным формулам.

Алгоритм метода РК 4 порядка

19. Построить сетку с шагом . Значение шага выбирается из соображений требуемой точности, учитывая, что порядок точности метода . Левая граница отрезка, на котором строится сетка, задана начальными условиями задачи Коши.

20. Решение дифференциального уравнения ищется в виде сеточной функции. Значение известно из начальных условий, все следующие значения рассчитываются по формулам Рунге–Кутта:

,

,

,

,

,

где – правая часть дифференциального уравнения;

– вспомогательные функции, значения которых вычисляются предварительно для каждого .

21. Для проверки сравнить значения приближенного решения со значениями точного решения в узлах сетки.

Вопросы теста

1. Численные методы – это… (выберите правильные определения)

a. методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций

b. методы интерполяции решения некоторой корректно поставленной задачи.

c. методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности значений, причем значения выражаются через элементарные функции и т.п.

d. это алгоритмы вычисления приближенных (а иногда—точных) значений искомого решения задачи на некоторой выбранной сетке значений аргумента х.

e. методы решения математических задач в численном виде.