Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x ₁, n ₁), (x ₂, n ₂),…, (x_k, n_k), где x_i откладываются на оси абсцисс, а n_i – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (n_i), а относительные (w_i) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1). Рис. 1.

В теории вероятностей для характеристики распределения случайной величины служит функция распределения

,

равная вероятности события , где – любое действительное число.

Одной из основных характеристик выборки является выборочная (эмпирическая) функция распределения

,

где – количество элементов выборки, меньших чем . Другими словами, есть относительная частота появления события в независимых испытаниях. Главное различие между и состоит в том, что определяет вероятность события , а выборочная функция распределения – относительную частоту этого события.

Из определения имеем следующие свойства функции :

1. .

2. – неубывающая функция.

3.

 

Напоминаем, что такими же свойствами обладает и функция распределения (вспомните эти свойства и сравните).

Функция является "ступенчатой", имеются разрывы в точках, которым соответствуют наблюдаемые значения вариантов. Величина скачка равна относительной частоте варианта.

Аналитически задается следующим соотношением:

где – соответствующие относительные частоты; – элементы вариационного ряда (варианты).

Замечание. В случае интервального вариационного ряда под понимается середина i -го частичного интервала.

Перед вычислением полезно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.

Пример. Построить выборочную функцию распределения по наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.1.

Решение. Используя соответствующий этим данным дискретный вариационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим значения и занесем их в табл. 2.3.

Таблица 2.3

x
x £ 1
0 < x £ 1
1 < x £ 2
2 < x £ 3
3 < x £ 4
4 < x £ 5
5 < x £ 7
x > 7

 

Из графика (рис. 2.1) видно, что удовлетворяет свойствам функции .

Напомним, что равна относительной частоте появления события и, следовательно, при любом значении величина является случайной. Тогда конкретной выборке объема соответствует функция распределения , которая в силу своей случайности будет отличаться от , построенной по другой выборке из той же генеральной совокупности.

 

Рис. 2.1. График выборочной функции распределения (пример 2.4)

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или w_i /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором –

единице.

В качестве оценки плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины используют гистограмму относительных частот. График плотности распределения генеральной совокупности проходит вблизи верхних границ прямоугольников, образующих гистограмму. Поэтому при больших объемах выборок и удачном выборе длины частичных интервалов гистограмма напоминает график плотности распределения .

Напомним свойства функции плотности вероятности:

1. р (х) ≥ 0;

2. площадь под графиком р (х) равна единице:

;

3. Р (Х ) = .

Первые два свойства выполняются и для гистограммы, третье свойство, естественно, выполняется лишь асимптотически.

 

¨Пример 2.5. Построим гистограмму относительных частот выборочной совокупности из примера 2.3.

Решение. Используя интервальный вариационный ряд (см. табл. 2.2), находим высоты по формуле . График построенной гистограммы приведен на рис. 2.2. Здесь же штриховой линией отмечен предполагаемый график неизвестной плотности .

0.10     0.05

Рис. 2. График гистограммы

Пример. Выборочно обследовано 26 предприятий лёгкой промышленности по валовой продукции. Получены следующие результаты в млн. руб.: 15,0; 16,4; 17,8; 18,0; 18,4; 19,2; 19,8; 20,2; 20,6; 20,6; 20,6; 21,3; 21,4; 21,7; 22,0; 22,2; 22,3; 22,7; 23,0; 24,2; 24,2; 25,1; 25,3; 26,0; 26,5; 27,1. Составить интервальное распределение выборки с началом х₁=15 и длинами частичных интервалов h=2,5. Построить гистограмму частот.

Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых h=2,5. Во второй строке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал). Интервальный статистический ряд таков:

(xi, xi+1)	15–17,5	17,5–20	20–22,5	22,5–25	25–27,5
ni

Объем выборки n=2+5+10+4+5=26. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы; на каждом из них строим прямоугольники высотой

 

10/2,5

 

 

5/2,5

2/2,5

 

 

х_i – x_i+1

15 17,5 20 22,5 25 27,5

 

Площадь каждого прямоугольника равна частоте интервала, на котором он построен. Сумма площадей этих прямоугольников равна объёму выборки. ◄

Для того чтобы увеличить точность приближения необходимо обеспечить значительное увеличение количества наблюдений (объем выборки ) при одновременном уменьшении шага разбиения диапазона выборки . В этом случае мы можем сколь угодно точно приблизить ступенчатую гистограмму к теоретической кривой функции плотности вероятности.

Анализируя гистограмму, можно сделать вывод о виде и свойствах исследуемой генеральной совокупности Х. Укажем три наиболее часто используемых на практике вида распределения случайных величин. Схематические графики их функций плотности вероятности имеют следующий вид:

 

1. Равномерно распределенные случайные величины
2. Экспоненциально распределенные случайные величины
3. Нормально распределенные случайные величины N (a, )

В случае нормально распределенных случайных величин под пиком гистограммы располагается значение, равное генеральному среднему (или математическому ожиданию) = М (Х). Наиболее часто реализуемые значения генеральной совокупности лежат в окрестности этого значения. Значения под убывающими ветвями практически не реализуются, их влиянием, в среднем, можно пренебречь.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что понимается под генеральной сово­купностью?

2. Что такое выборка, размах выборки, объем выборки? Как обеспечивается представительность ее?

3. Объясните, как получают повторную и бесповторную выборки?

4. Что называют ошибкой репрезентативности?

5. Что такое частота появления варианты в выборке?

6. Как получают относительную частоту варианты в выборке?

7. Объясните, как получают вариационный ряд, статистический ряд распределения.

8. Что мы называем функцией распределения и статистической функцией распределения?

Какими свойствами обладает статистическая функция распределения?

9. Дайте определение группированного статистического ряда. Как строится гистограмма?

10. Что такое гамма-функция?

11. Запишите формулы плотности распределения для нормального, и распределения Стьюдента.

12. Как выполняется чертеж многоугольника распределения относительных частот?

13. Как выполняется чертеж гистограммы распределения плотности относи­тельных частот?