Способы первичной обработки выборки

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х ₁ п ₁ раз, х ₂ – п ₂ раз, …, х_к – п_к раз, причем где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х ₁, х ₂,…, х_к называют вариантами, а п ₁, п ₂,…, п_к – частотами. Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется частностью (или относительной частотой) и обозначается , , т.е. или Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки. Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным ряд ом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:

 

xi	x 1	x 2	…	xk
ni	n 1	n 2	…	nk
wi	w 1	w 2	…	wk

Вариационный ряд, заданный в таком виде, называют дискретным

Пример 2.1. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие 60 значений:

3; 1; 3; 1; 4; ï 1; 2; 4; 0; 3; ï 0; 2; 2; 0; 1; ï1; 4; 3; 1; 1;

4; 2; 2; 1; 1; ï 2; 1; 0; 3; 4; ï 1; 3; 2; 7; 2; ï0; 0; 1; 3; 3;

 

1; 2; 1; 2; 0; ï 2; 3; 1; 2; 5; ï 1; 2; 4; 2; 0; ï 2; 3; 1; 2; 5.

Выполним операции ранжирования (операция – ранжирование опытных данных, результатом которого являются значения, расположенные в порядке неубывания) и группировки. В результате были получены семь значений случайной величины (варианты): 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7. При этом значение 0 в этой группе встречается 8 раз, значение 1 – 17 раз, значение 2 – 16 раз, значение 3 – 10 раз, значение 4 – 6 раз, значение 5 – 2 раза, значение 7 – 1 раз. Вычисленные значения частот и частностей приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Индекс		1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Вариант		0, 1, 2, 3, 4, 5, 7
Частота		8, 17, 16, 10, 6, 2, 1
Частность

 

Таким образом, получен дискретный ряд:

,

где в скобках указаны соответствующие частоты. В отличие от исходных данных, этот ряд позволяет делать некоторые выводы о статистических закономерностях.

Пример. При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5. Размах выборки равен 5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:

xi
ni
wi	0,15	0,3	0,25	0,15	0,1	0,05

◄

Пример. Дана выборка, состоящая из чисел: 3.2, 4.1, 8.1, 8.1, 6.7, 4.4, 4.4, 3.2, 5.0, 6.7, 6.7, 7.5, 3.2, 4.4, 6.7, 6.7, 5.0, 5.0, 4.4, 8.1. Составить статистический ряд распределения абсолютных и относительных частот.

Объем выборки п = 20. Перепишем варианты в порядке возрастания:

3.2, 3.2, 3.2, 4.4, 4.4, 4.4, 4.4, 4.4, 5.0, 5.0, 5.0, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 7.5, 8.1, 8.1, 8.1. Составлен так называемый вариационный ряд, который показывает, что выборка состоит из шести вариант. Составим статистический ряд:

 

xi	3.2	4.4	5.0	6.7	7.5	8.1
ni
wi	0,15	0,25	0,15	0,25	0,05	0,15

(относительная частота ). ◄

Если число возможных значений дискретной случайной величины достаточно велико или наблюдаемая случайная величина является непрерывной, то строят интервальный вариационный ряд, под которым понимают упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частностями попаданий в каждый из них значений случайной величины.

Как правило, частичные интервалы, на которые разбивается весь интервал варьирования, имеют одинаковую длину и представимы в виде

,

где - число интервалов. Количество интервалов рассчитывают по эмпирической формуле Старджеса: , где n – объем выборки

Длину следует выбирать так, чтобы построенный ряд не был громоздким, но в то же время позволял выявлять характерные изменения случайной величины. Для вычисления рекомендуется использовать следующую формулу:

,

где – наибольшее и наименьшее значения случайной величины. Если окажется, что – дробное число, то за длину интервала следует принять либо ближайшую простую дробь, либо ближайшую целую величину. При этом необходимо выполнение условий:

.

После нахождения частных интервалов определяется, сколько значений случайной величины попало в каждый конкретный интервал. Для определенности считают левый конец интервала закрытым, а правый – открытым. В интервал включают значения, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы.

¨ Пример 2.3. При изменении диаметра валика после шлифовки была получена следующая выборка (объемом ):

 

20.3	15.4	17.2	19.2	23.3	18.1	21.9
15.3	16.8	13.2	20.4	16.5	19.7	20.5
14.3	20.1	16.8	14.7	20.8	19.5	15.3
19.3	17.8	16.2	15.7	22.8	21.9	12.5
10.1	21.1	18.3	14.7	14.5	18.1	18.4
13.9	19.8	18.5	20.2	23.8	16.7	20.4
19.5	17.2	19.6	17.8	21.3	17.5	19.4
17.8	13.5	17.8	11.8	18.6	19.1

Необходимо построить интервальный вариационный ряд, состоящий из семи интервалов.

Решение. Так как наибольшая варианта равна 23.8, а наименьшая 10.1, то вся выборка попадает в интервал (10,24). Мы расширили интервал (10.1,23.8) для удобства вычислений. Длина каждого частичного интервала равна . Получаем следующие семь интервалов:

а соответствующий интервальный вариационный ряд представлен в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Х	10–12	12–14	14–16	16–18	18–20	20–22	22–24

От интервального ряда можно перейти к дискретному статистическому ряду, взяв на каждом интервале (х_i, x_i+1) за отдельное значение х_i^* величину

являющуюся серединой этого интервала.

Приемы обработки выборок

1. Ранжирование – упорядочение элементов выборки в порядке возрастания. Одинаковые значения повторно включаются в ранжированный ряд.

2. Чтобы избежать дальнейших громоздких действий с выборкой, строится группированный статистический ряд:

– определяется диапазон выборки

[ x _min, x _max];

– находится шаг разбиения

;

– вычисляются границы интервалов (с точностью не менее трех знаков после запятой):

z ₀= x _min, z ₁ = z ₀ + h, z ₂ = z ₁ + h, z ₃ = z ₂+ h; z ₄ = z ₃ + h, z ₅ = z ₄ + h; и т.д.

– находятся значения середин интервалов , i = 1,..., 5,:

, , , , и т.д.

– вычисляются частоты попадания значений в интервалы: n ₁, n ₂, n ₃, n ₄, n _5…, при этом должна выполняться контрольная сумма: .

– находятся относительные частоты попадания значений в интервалы:

w ₁ = n ₁ /n, w ₂ = n ₂ /n, w ₃ = n ₃ /n, w ₄ = n ₄ /n, w ₅ = n ₅ /n, и т.д. Здесь контролируется выполнение суммы: .

– вычисляются высоты ступеней гистограммы : , , ,

, ит.д. Проверка: .

В результате получаем таблицу группированного статистического ряда:

 

Номер интервала, i
Границы интервалов, [ zi– 1, zi ]	[ z 0, z 1]	[ z 1, z 2]	[ z 2, z 3]	[ z 3, z 4]	[ z 4, z 5]	–
Середины интервалов,						–
Частоты попадания в интервалы, ni	n 1	n 2	n 3	n 4	n 5
Относительные частоты попадания, wi	w 1	w 2	w 3	w 4	w 5
Высоты ступеней гистограммы,						1 /h

Группированный статистический ряд, включая в себя строки и w_i, является аналогом закона распределения дискретной модели исследуемой нами генеральной совокупности.