Статистические оценки параметров

Распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Располагая лишь выборочными значениями признака, можно оценить, а не определить точно значения параметров закона или числовых характеристик признака; эти оценки будут случайными и меняться от выборки к выборке. Поэтому важно не только знать оценки неизвестных величин, полученные на основе выборочных данных, но и понимать меры их надежности.

Цель любого оценивания – получить как можно более точное значение неизвестной характеристики признака генеральной совокупности по данным выборочного наблюдения.

Статистической оценкой неизвестной величины (неизвестного параметра теоретического закона распределения или неизвестной числовой характеристики признака генеральной совокупности) называют функцию от наблюдаемых значений признака как независимых случайных величин.

Точечной называют статистическую оценку, которая характеризуется одним числом. Интервальной называют оценку, которая задаётся двумя числами – концами интервала, покрывающего неизвестную величину, внутри которого может находиться оцениваемый параметр генеральной совокупности.

Генеральная совокупность характеризуется двумя сторонами:

1) видом распределения (например, равномерное, нормальное, Пуассоновское и т.д.); 2) параметрами распределения (например, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и т.п.). В связи с этим существует два класса оценок: оценки вида распределения и оценки параметров распределения.

К статистической оценке предъявляется ряд естественных требований (несмещённость, состоятельность, эффективность), которые обеспечивают в некотором смысле её «доброкачественность». Определения несмещённой, состоятельной, эффективной оценок смотри в п.3.

 

1. Точечные оценки параметров распределения. Несмещённой и состоятельной оценкой генеральной средней (математического ожидания признака Х генеральной совокупности) является выборочная средняя .

1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

, (1)

где x_i – варианты, n_i - частоты.

Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины.

Выборочной дисперсией называется

. (2)

Выборочным средним квадратическим отклонением –

(3)

Так же справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии:

. (4)

Исправленная выборочная дисперсия

(4а)

Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение - .

 

 

Пример. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом

xi
ni

 

 

■▬▬▬►

 

2. Другими характеристиками вариационного ряда являются:

- мода М₀ – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере

М₀ = 5).

- медиана т _е - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно (n = 2 k + 1), то m_e = x_{k+ 1}, а при четном n = 2 k . В частности, в предыдущем примере

Оценки начальных и центральных моментов (так называемые эмпирические моменты) определяются аналогично соответствующим теоретическим моментам:

- начальным эмпирическим моментом порядка k называется

. (5)

В частности, , то есть начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочному среднему.

- центральным эмпирическим моментом порядка k называется

. (6)

В частности, , то есть центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

◄▬▬▬■

Для непрерывного распределения применяются те же формулы, но за значения в этих формулах берутся, как правило середины вариант-интервалов. Таким образом, интервальный вариационный ряд заменяется дискретным рядом.

3. Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выборочную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближением соответствующих характеристик генеральной совокупности. Определим требования, которые должны при этом выполняться.

Пусть Θ* - статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема п и вычислим для каждой из них оценку параметра Θ: Тогда оценку Θ* можно рассматривать как случайную величину, принимающую возможные значения Если математическое ожидание Θ* не равно оцениваемому параметру, мы будем получать при вычислении оценок систематические ошибки одного знака (с избытком, если М (Θ*) >Θ, и с недостатком, если М (Θ*) < Θ). Следовательно, необходимым условием отсутствия систематических ошибок является требование М (Θ*) = Θ.

Статистическая оценка Θ* называется несмещенно й, если ее математичес-кое ожидание равно оцениваемому параметруΘ при любом объеме выборки:

М (Θ*) = Θ.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако несмещенность не является достаточным условием хорошего приближения к истинному значению оцениваемого параметра. Если при этом возможные значения Θ* могут значительно отклоняться от среднего значения, то есть дисперсия Θ* велика, то значение, найденное по данным одной выборки, может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Следовательно, требуется наложить ограничения на дисперсию.

Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется еще и требование состоятельности. Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п →∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п →∞ ее дисперсия стремится к 0).

Заданная таким образом оценка математического ожидания является несмещенной, то есть математическое ожидание выборочного среднего равно оцениваемому параметру (математическому ожиданию исследуемой случайной величины). Выборочная дисперсия, напротив, смещенная оценка генеральной дисперсии, и Поэтому и вводится несмещенная оценка генеральной дисперсии – исправленная выборочная дисперсия

Соответственно число является несмещенной точечной оценкой среднего квадратического отклонения.

Пример. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию и исправленное среднее выборочное отклонение для выборок, заданных в примерах 1 и 2.

1)

 

2) В выборке из примера 2 будем считать вариантами середины частичных интервалов, то есть определим точечные оценки для выборки

 

xi	12,5	16,5	20,5	24,5	28,5
ni

 

Тогда

◄

Пример. При изучении производительности труда Х на одного работника было обследовано 10 предприятий и получены следующие значения (тыс. руб.): 4,2; 4,8; 4,7; 5,0; 4,9; 4,3; 3,9; 4,1; 4,3; 4,8. Определить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение.

По данной выборке объёма n=10 составим статистический ряд:

xi	3,9	4,1	4,2	4,3	4,7	4,8	4,9	5,0
ni

 

По формуле (1) найдется выборочная средняя:

(тыс. руб.).

По формуле (2) найдем выборочную дисперсию. Для этого вычислим и по формуле (4):

Тогда D_B=20,382–20,25=0,132. Согласно (4а) S≈0,383.

Смысл полученных результатов заключается в следующем. Средняя производительность труда на одного работника для изученных предприятий составила =4,5 тыс. руб. Исправленное среднее квадратическое отклонение S описывает абсолютный разброс значений показателя Х и в данном случае составляет S=0,383 тыс. руб.◄

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка.

-0,269 -0,786 0,585 -1,107 1,574 0,341 -1,309 -0,165

-0,483 0,525 1,620 0,206 0,346 -0,973 -0,363 0,660

1,084 0,903 1,387 1,261 0,786 1,107 0,341 0,525

1) Определить: выборочное среднее, выборочную и исправленную дисперсии, выборочное и исправленное среднее квадратичное отклонение. 2) Построить сгруппированный статистический ряд, гистограмму и эмпирическую функцию распределения. На основе анализа гистограммы и эмпирической функции распределения сделать предположение о виде распределения исследуемого признака.

Занесем данные в таблицу и выстроим их по возрастанию (для построения группировки). Найдем сумму выборочных данных и выборочное среднее. Найдем выборочную и исправленную дисперсии.

0,736, 0,858

 

 

Таблица 3.

№	X	По возрастанию
	-0,269	-1,309	0,359
	0,786	-1,107	0,208
	0,585	-0,973	0,065
	-1,107	-0,483	2,066
	1,574	-0,363	1,546
	0,341	-0,269	0,000
	-1,309	-0,165	2,688
	-0,165	0,206	0,245
	-0,483	0,341	0,662
	0,525	0,346	0,038
	1,620	0,525	1,663
	0,206	0,585	0,015
	0,346	0,660	0,000
	-0,973	0,786	1,699
	-0,363	0,903	0,481
	0,660	1,084	0,109
	1,084	1,261	0,568
	0,903	1,387	0,328
	1,387	1,574	1,116
	1,261	1,620	0,866
Σ	6,609		14,722
Среднее выборочное	0,330		0,736
		0,858

 

Исправленная выборочная дисперсия , исправленное среднеквадратическое отклонение

Количество интервалов рассчитаем по формуле Старджеса: . Получим , округляем в большую сторону, k = 6.

Наименьшее значение равно –1,309, наибольшее значение равно 1,620. длина интервала находится по формуле . «Упакуем» выборку в интервале [-1,311; 1,623], который разобьем на 6 частей длиной . Подсчитаем частоту для каждого интервала и получим сгруппированный статистический ряд. Гистограмма – это фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы группировки. Высота h_j j – того прямоугольника определяется по формуле

Таблица 4.

Интервалы	Частоты nj	Высоты hj	Накопленные частоты	Относительные накопленные частоты
[-1,311; -0,822)		0,307		0,15
[-0,822; -0,333)		0,204		0,25
[-0,333; 0,156)		0,204		0,35
[0,156; 0,645)		0,409		0,55
[0,645; 1,134)		0,511		0,80
[1,134; 1,623)		0,409		1,00

Эмпирическая функция распределения – это графическое изображение относительных накопленных частот в виде ступенчатой линии.

Накопленная частота – это число вариант, меньших правой границы интервала.

Относительная накопленная частота – это отношение накопленной частоты к объему выборки.

Рис. 4

По виду гистограммы можно сделать вывод, что данное распределение не является нормальным.

 

Рис. 5

 

2. Интервальные оценки параметров распределения. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разумеется, чем меньше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ* некоторого параметра Θ справедливо неравенство

| Θ* - Θ | < δ, число δ > 0 характеризует точность оценки(предельность ошибки) (чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим:

p (Θ* - δ < Θ < Θ* + δ) = γ.

Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал (Θ*- δ, Θ*+ δ). Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ; он является симметричной интервальной оценкой неизвестной величины Q.