Критерий для проверки гипотезы

о вероятности события.

 

Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно большое число), в каждом из которых некоторое событие А появляется с одной и той же, но неизвестной вероятностью р, и найдена относительная частота появлений А в этой серии испытаний. Проверим при заданном уровне значимости α нулевую гипотезу Н ₀, состоящую в том, что вероятность р равна некоторому значению р ₀.

Примем в качестве статистического критерия случайную величину

, (1)

имеющую нормальное распределение с параметрами M (U) = 0, σ (U) = 1 (то есть нормированную). Здесь q ₀ = 1 – p ₀. Вывод о нормальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа (при достаточно большом п относительную частоту можно приближенно считать нормально распределенной с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением ).

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

1) Если Н ₀: р = р ₀, а Н ₁: р ≠ р ₀, то критическую область нужно построить так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область равнялась заданному уровню значимости α. При этом наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда критическая область состоит из двух интервалов, вероятность попадания в каждый из которых равна . Поскольку U симметрична относительно оси О у, вероятность ее попадания в интервалы (-∞; 0) и (0; +∞) равна 0,5, следовательно, критическая область тоже должна быть симметрична относительно О у. Поэтому и_кр определяется по таблице значений функции Лапласа из условия , а критическая область имеет вид .

Замечание. Предполагается, что используется таблица значений функции Лапласа, заданной в виде , где нижний предел интегрирования равен 0, а не -∞. Функция Лапласа, заданная таким образом, является нечетной, а ее значения на 0,5 меньше, чем значения стандартной функции Ф (х).

Далее нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:

. (2)

Если | U_набл | < u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если | U_набл | > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Если конкурирующая гипотеза Н ₁: р > p ₀, то критическая область определяется неравенством U > u_кр, то есть является правосторонней, причем р (U > u_кр) = α. Тогда . Следовательно, и_кр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия, что . Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле (2). Если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается. Если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

3) Для конкурирующей гипотезы Н ₁: р < p ₀ критическая область является левосторонней и задается неравенством U <- u_кр, где и_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае. Если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,12. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Н ₀: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н ₁: р > 0,1. Найдем Критическая область является правосторонней, а и_кр находим из равенства Ф(и_кр) = Из таблицы значений функции Лапласа определяем и_кр = 2,33. Итак, U_набл < u_кр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается.

 

Сравнение двух вероятностей

Биномиальных распределений

 

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п ₁ опытов, и событие А появилось т ₁ раз; во второй серии из п ₂ опытов событие А появилось т ₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р ₁, а во второй серии – через р ₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р ₁ = р ₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н ₁: р ₁ ≠ р ₂ u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством | U | > u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н ₁: р ₁ > р ₂ u_кр для правосторонней критической области находится из условия , и вид критической области: U > u_кр.

в) при конкурирующей гипотезе Н_о: р ₁ < р ₂ левосторонняя критическая область имеет вид U < – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).

Пример. В серии из 20 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н_о: р ₁ = р ₂ при конкурирующей гипотезе Н_о: р ₁ < р ₂.

Критическая область – левосторонняя, следовательно, и_кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и_набл = U_набл > – u_кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова.

◄▬▬■