Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
отклонения нормального распределения. Будем искать для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины доверительный интервал вида (s – δ, s +δ), где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а для δ выполняется условие: p (|σ – s | < δ) = γ. Запишем это неравенство в виде: или, обозначив , . (4) Рассмотрим случайную величину χ, определяемую по формуле , которая распределена по закону «хи-квадрат» с п -1 степенями свободы. Плотность ее распределения не зависит от оцениваемого параметра σ, а зависит только от объема выборки п. Преобразуем неравенство (4) так, чтобы оно приняло вид χ1 < χ < χ2. Вероятность выполнения этого неравенства равна доверительной вероятности γ, следовательно, Предположим, что q < 1, тогда неравенство (4) можно записать так: , или, после умножения на , . Следовательно, . Тогда Существуют таблицы для распределения «хи-квадрат», из которых можно найти q по заданным п и γ, не решая этого уравнения. Таким образом, вычислив по выборке значение s и определив по таблице значение q, можно найти доверительный интервал (4), в который значение σ попадает с заданной вероятностью γ. Замечание. Если q > 1, то с учетом условия σ > 0 доверительный интервал для σ будет иметь границы . (5) Итак, для оценки генерального среднего квадратического отклонения σ при заданной надежности γ можно построить доверительный интервал вида где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а q = q (n, γ) – значение, определяемое из таблиц. Пример. Пусть п = 20, s = 1,3. Найдем доверительный интервал для σ при заданной надежности γ = 0,95. Из соответствующей таблицы находим q (n = 20, γ = 0,95) = 0,37. Следовательно, границы доверительного интервала: 1,3(1-0,37) = 0,819 и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ < 1,781 с вероятностью 0,95. ◄ Пример. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 5, 7, 3, 5. Найти с доверительной вероятностью γ = 0,95 границы доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Объем выборки п = 20. Найдем = 4,25, s = 1,37. По таблицам ([1], табл. 3 и 4) определим t (0,95; 20) = 2,093; q (0,95; 20) = 0,37. Тогда доверительный интервал для математического ожидания;
доверительный интервал для дисперсии. ◄ Пример. Служба Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью случайного отбора было выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт×ч): 125, 78, 102, 140, 90, 45, 50, 125, 115, 112. С вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для среднего расхода электроэнергии на одну квартиру во всем доме при условии, что отбор был: а) повторным; б) бесповторным, и во всем доме 70 квартир. Составим таблицу
По условию задачи: Среднее квадратичное отклонение неизвестно, поэтому заменим его несмещенной оценкой дисперсии. Имеем ; По таблицам распределения Стьюдента найдем : При повторном случайном отборе предельная ошибка выборки равна: т.е. доверительный интервал имеет границы . При бесповторном отборе предельная ошибка выборки равна: и доверительный интервал имеет границы . Ответ. а) При повторном отборе с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии в доме находится в интервале от 75,63 кВт×ч до 121,17 кВт×ч. б) При бесповторном отборе с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии в доме находится в интервале от 76,93 кВт×ч до 119,47 кВт×ч.◄ Пример. С помощью случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону распределения. Каким должен быть объем выборки, чтобы, с доверительной вероятностью 0,95, можно было утверждать, что, принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0,5 года. Стандартное отклонение равно 2,7 года? По условию задачи и требуется найти объем выборки n при повторном отборе. Т.к. мы имеем дело с нормальным распределением, то имеем: Учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку, округляем результат до большего целого: n = 113 служащих.
Ответ. Чтобы с вероятностью 0,95 и точностью года определить средний стаж работы в фирме, требуется опросить 113 служащих.◄
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 1064; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.248.24 (0.007 с.) |