Глава 7. Интерпретация и оптимизация регрессионных моделей

 

Интерпретация модели

 

После построения регрессионной модели, оценки ее адекватности и точности, расчета коэффициентов регрессии переходят к анализу полу- ченных результатов. Этот этап называется интерпретацией.

Интерпретация – «перевод» результатов математического описания исследуемого объекта с языка математики на язык пользователя (схемы, графики, таблицы и т. д.).

На этапе интерпретации оценивается, насколько результаты (в час- тности, модель) соответствуют здравому смыслу и существующей инфор- мации о поведении и свойствах объекта. Интерпретацию можно рассмат- ривать как этап, обратный формализации.

Обозначим основные шаги интерпретации.

1. Анализ значений коэффициентов регрессии

Технологические процессы в машиностроении не относятся ни к об- ласти микромира, ни к области макромира. Если значения коэффициентов регрессии подозрительно велики или малы, то это может быть следствием ошибки в расчетах. Следует выполнить проверку полученных результатов.

2. Анализ знаков перед коэффициентами регрессии

На этом этапе устанавливается, в какой мере и как каждый входной фактор влияет на отклик объекта. Знаки коэффициентов регрессии указы- вают на характер влияния входных факторов на выходной фактор. Сравни- вая результаты моделирования и априорную информацию об объекте, можно сделать вывод о пригодности полученной модели для описания, объяснения и предсказания поведения и свойств объекта.

3. Анализ расчетных значений выходной переменной (выполняется графически)

На этом этапе анализируется, насколько значения выходного факто- ра, предсказанные по выбранной модели, отличаются от эксперименталь- ных данных. По результатам сравнения также можно сделать вывод о при- годности полученной модели для описания, объяснения и предсказания поведения и свойств объекта.

Современное программное обеспечение, которое применяется для статистического моделирования (STATISTICA, STATGRAPHICS, SPSS

и др.), позволяет объединить указанные этапы и выполнить интерпретацию модели графоаналитическим способом, т. е. используя широкие возможно- сти построения графиков и поверхностей отклика.

Оптимизация модели

 

Большое количество задач управления, планирования и проектирова- ния связано с проблемой оптимизации, сводимой к отысканию таких зна- чений входных факторов, при которых критерий оптимизации достигает экстремума [13].

Можно выделить два основных подхода к решению задачи оптимиза- ции. Первый связан с созданием теории процесса и его детерминированной (или аналитической) модели. В этом случае для решения задачи используются методы линейного, нелинейного и динамического программирования, прин- цип максимума и т. д. [13, 14, 15]. Второй подход – эмпирический и в насто- ящее время используется значительно чаще. Появились и эмпирические спо- собы оптимизации – метод Бокса-Уилсона и симплекс-планирование.

При решении задачи оптимизации необходимо выбрать метод поиска оптимального решения в зависимости от особенностей исследуемого объ- екта и применить его для получения «наилучших» характеристик или ва- риантов поведения объекта или воздействия на него. Если количество входных факторов (k) равно или больше 2, то графическим отображением результатов моделирования объекта является, соответственно, поверхность или гиперповерхность отклика. Ранее мы уже говорили, что в этом случае выходной фактор называется критерием оптимизации.

Решая задачу поиска экстремальных значений критерия оптимизации при построении моделей, следует помнить, что линейные, степенные, экс- поненциальные, обратные функции не имеют экстремумов. Следовательно, регрессионные модели на их основе тоже не будут иметь экстремумов. Поэ- тому в данном случае в качестве моделей для описания объекта целесооб- разнее использовать полиномы четных степеней.

Бокс и Уилсон предложили шаговый метод исследования поверхно- сти отклика – метод крутого восхождения (или метод наискорейшего спус- ка) [13, 14, 15], в основе которого лежит использование градиента функ- ции. Движение по градиенту обеспечивает кратчайший путь к оптимуму и дает возможность в сложной многофакторной ситуации вести поиск це- ленаправленно.

Градиентом непрерывной однозначной функции называется вектор

 

...

grad (y) =

¶ y i

¶ x 1

+ ¶ y

¶ x 2

j + ¶ y

¶ x 3

k +....

 

Градиент всегда направлен в сторону увеличения функции. Следова- тельно, если перемещаться по градиенту, то можно достичь максимума функции отклика, а если двигаться в направлении, противоположном гра- диенту, то минимума [13]. Современное программное обеспечение, кото- рое используется для статистического моделирования (STATISTICA, STATGRAPHICS и др.), позволяет исследователю избежать многочислен- ных вычислительных процедур, так как дает возможность графически ото- бражать результаты поиска экстремумов функции.

Если поставленную оптимизационную задачу не удалось решить, то, скорее всего, следует перенести область проведения эксперимента, спла- нировать и провести эксперимент заново, построить новые регрессионные модели и попытаться определить наличие экстремумов (возможно, локаль- ных) критерия оптимизации и соответствующих им значений входных факторов.

Вопросы для самоконтроля

 

1. Что такое интерпретация модели?

2. Для чего выполняется интерпретация модели?

3. Обозначьте этапы интерпретации модели.

4. Что такое градиент функции?

5. Почему при отыскании максимума критерия оптимизации можно перемещаться по градиенту?

6. Что делать, если не удалось решить задачу оптимизации для ис- следуемого объекта?

 

Заключение

 

Нами были рассмотрены основы теории моделирования, планирова- ния эксперимента и построения регрессионных моделей для исследования технологических процессов машиностроительного производства.

Необходимость использования моделей и моделирования, прежде все- го математических, определяется возможностью с их помощью решения сложных задач исследования, прогнозирования и оптимизации технологи- ческих процессов в машиностроении. В настоящее время для более интен- сивного использования математических моделей имеются научно-методи- ческие, информационные, программно-технические и социальные предпо- сылки [1]. Созданное для специалистов математическое и программное обеспечение сделало моделирование широко используемым профессио- нальным инструментом для решения сложных задач оптимального техноло- гического проектирования.

Данное учебное пособие, разработанное для студентов профессио- нально-педагогических вузов по специальности 050501.65 Профессио- нальное обучение (специализация 050501.08 Технологии и оборудование машиностроения), упорядочивает, структурирует и развивает знания сту- дентов по различным вопросам и аспектам моделирования, полученные ими при изучении технических дисциплин.

 

 

Библиографический список

 

1. Кузьмин В. В. Математическое моделирование технологических про- цессов сборки и механической обработки изделий машиностроения: учеб- ник для вузов / В. В. Кузьмин [и др.]. Москва: Высшая школа, 2008. 279 с.

2. Ашихмин В. Н. Введение в математическое моделирование: учеб- ное пособие / В. Н. Ашихмин [и др.]; под ред. П. В. Трусова. Москва: ЛО- ГОС, 2005. 440 с.

3. Советов Б. Я. Моделирование систем: учебник для вузов / Б. Я. Со- ветов, С. А. Яковлев. 3-е изд., перераб и доп. Москва: Высшая школа, 2001. 343 с.

4. Зобнин Б. Б. Моделирование систем: конспект лекций / Б. Б. Зоб- нин. Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 2001. 129 с.

5. Дьяконов В. П. Новые информационные технологии: учебное по- собие / В. П. Дьяконов [и др.]; под ред. В. П. Дьяконова. Москва: СОЛОН- Пресс, 2005. 640 с.

6. Саблина Н. Г. Информационные технологии: конспект лекций: в 2 частях / Н. Г. Саблина, Г. М. Черногородова. Екатеринбург: Изд-во УГТУ – УПИ, 2001. Ч. 2. 119 с.

7. Дулов В. Г. Математическое моделирование в современном естест- вознании: учебное пособие / В. Г. Дулов, В. А. Цибаров; под ред. В. Г. Ду- лова. Санкт-Петербург: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 244 с.

8. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: учебник для вузов / В. С. Зарубин [и др.]; под ред. В. С. Зарубина. Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. 496 с.

9. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и ин- женеров / Г. Корн, Т. Корн. Москва: Наука, 1972. 830 с.

10. Спирин Н. А. Методы планирования и обработки результатов ин- женерного эксперимента: учебное пособие / Н. А. Спирин [и др.]; под ред. Н. А. Спирина; ГОУ ВПО УГТУ – УПИ. Екатеринбург, 2003. 260 с.

11. Рогов В. А. Методика и практика технических экспериментов: учебное пособие / В. А. Рогов. Москва: Академия, 2005. 288 с.

12. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ: перевод с англий- ского / Н. Дрейпер, Г. Смит. 3-е изд. Москва: Вильямс, 2007. 912 с.

13. Адлер Ю. П. Теория эксперимента: прошле, настоящее, будущее /

Ю. П. Адлер, Ю. В. Грановский, Е. В. Макарова. Москва: Знание, 1982. 64 с.

14. Цирлин А. М. Оптимальное управление технологическими про- цессами / А. М. Цирлин. Москва: Энергопромиздат, 1986. 400 с.

15. Ногин В. Ю. Основы теории оптимизации / В. Ю. Ногин, И. О. Про- тодьяконов, И. И. Евлампиев. Москва: Высшая школа, 1986. 384 с.

 

 

Учебное издание

 

 

Штерензон Вера Анатольевна

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

 

Конспект лекций

 

 

Редактор О. Е. Мелкозерова Компьютерная верстка О. Н. Казанцевой

 

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета университета

 

 

Подписано в печать 21.12.10. Формат 60×84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. 4,0. Уч.-изд. л. 4,3. Тираж 200 экз. Заказ №. Издательство Российского государственного профессионально-педагоги- ческого университета. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.